【物理】2019届一轮复习人教版第四章第4讲万有引力定律及应用学案 14页

第4讲　万有引力定律及应用 一、开普勒三定律的内容、公式 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律)‎ 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律)‎ 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律)‎ 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 自测1　关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)‎ A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案　B 解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律．‎ 二、万有引力定律 ‎1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．(万有引力定律是由牛顿提出的)‎ ‎2．表达式 F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出．‎ ‎3．适用条件 ‎(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视 为质点．‎ ‎(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．‎ ‎4．天体运动问题分析 ‎(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．‎ ‎(2)基本公式：‎ G＝ma＝ 自测2　(2018·锦屏中学模拟)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则(　　)‎ A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 答案　B 解析　航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G＝m＝mrω2＝mr2＝ma，解得v＝，T＝，ω＝，a＝，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B正确.‎ 命题点一　开普勒三定律的理解和应用 ‎1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．‎ ‎2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．‎ ‎3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．‎ 例1　(多选)(2017·射阳中学月考)如图1所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)‎ 图1‎ A．TA>TB B．EkA>EkB C．SA＝SB D.＝ 答案　AD 解析　由开普勒第三定律可知周期的二次方与半径的三次方成正比，＝k＝，则D正确；A的半径大，则其周期长，则A正确；由开普勒第二定律可知绕同一天体运动的天体与中心天体连线在相同时间内扫过的面积相等，则S＝＝π，故SA>SB，并可知连线长的速度小，则A的速度小于B的，又质量相等，则A的动能小于B的动能，则B、C错误．‎ 命题点二　万有引力与重力的关系 忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G.可得：‎ ‎1．地球表面重力加速度g＝ 距地面高h处重力加速度g′＝.‎ 有＝，即g与到地心距离的平方成反比．‎ ‎2．地球质量M＝.‎ ‎3．恒等式：GM＝gR2‎ 以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用．‎ 例2　(2018·无锡市期中)人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.‎ ‎(1)求月球表面的自由落体加速度大小g月；‎ ‎(2)若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M和月球的“第一宇宙速度”大小．‎ 答案　(1)　(2)　 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动 h＝g月t2‎ 月球表面的自由落体加速度大小g月＝ ‎(2)若不考虑月球自转的影响G＝mg月 月球的质量M＝ 质量为m′的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动m′g月＝m′ 月球的“第一宇宙速度”大小v＝＝.‎ 变式1　(2017·仪征中学高三初考)离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的，则高度h是地球半径的(　　)‎ A．2倍 B.倍 C.倍 D．(－1)倍 答案　D 解析　设地球的质量为M，某个物体的质量为m，则在地球表面有：G＝mg，在离地面h高处轨道上有：G＝m，联立得：h＝(－1)R，即＝－1，故选项D正确．‎ 命题点三　中心天体—环绕天体模型 环绕天体做匀速圆周运动所需向心力由中心天体对它的万有引力提供(如图2)，即：G＝mr　(1)或G＝m＝mω2r＝man等．‎ 图2‎ ‎1．由(1)式可得中心天体质量：M＝ 中心天体密度：ρ＝＝(r为环绕天体轨道半径，R为中心天体自身半径)‎ 当r＝R时，ρ＝.‎ ‎2．环绕天体运行各参量分析 ‎(1)环绕天体的线速度：由G＝m，得v＝，即特定的轨道对应特定的速率．‎ ‎(2)环绕天体的角速度：由G＝mrω2，得ω＝.‎ ‎(3)环绕天体的向心加速度：由＝man，得an＝.‎ ‎(4)环绕天体的运行周期：由G＝mr，得T＝.‎ 由于上述结论中引力常量G、中心天体质量为常量，从而可以总结出：距离中心天体越远，轨道半径越大，周期越长，线速度、角速度、向心加速度越小．‎ 准确地说：①T∝；②v∝ ；③ω∝；④a∝.‎ 例3　(2018·泰州中学检测)我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度，万有引力常量为G，月球的半径为R，则可推知月球密度的表达式是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　该卫星的线速度为v＝，轨道半径为r＝；根据万有引力提供向心力G＝m，得月球的质量为M＝＝ 月球的体积为V＝πR3，‎ 所以月球的密度ρ＝＝＝，故C正确，A、B、D错误．‎ 变式2　(多选)(2017·苏锡常镇四市调研)2016年8月欧洲南方天文台宣布：在离地球最近的恒星“比邻星”周围发现了一颗位于宜居带内的行星，并将其命名为“比邻星b”，‎ 这是一颗可能孕育生命的系外行星．据相关资料表明：“比邻星b”的质量约为地球的1.3倍，直径约为地球的2.2倍，绕“比邻星”的公转周期约为11.2天，与“比邻星”的距离约为日地距离的5%，若不考虑星球的自转效应，则(　　)‎ A．“比邻星”的质量大于太阳质量 B．“比邻星”的质量小于太阳质量 C．“比邻星b”表面的重力加速度大于地球表面的 D．“比邻星b”表面的重力加速度小于地球表面的 答案　BD 解析　根据G＝mr可得：M＝，则＝∶＝3×2≈0.133，故“比邻星”的质量小于太阳质量，选项A错误，B正确；根据g＝，则＝＝1.3×2≈0.27，即“比邻星b”表面的重力加速度小于地球表面的，选项C错误，D正确；故选B、D.‎ 例4　(2017·海州高级中学第五次检测)如图3所示，在地球轨道外侧有一小行星带．假设行星带中的小行星都只受太阳引力作用，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)‎ 图3‎ A．小行星带内侧行星的加速度小于外侧行星的加速度 B．与太阳距离相等的每一颗小行星，受到太阳的引力大小都相等 C．各小行星绕太阳运行的周期大于一年 D．小行星带内各行星绕太阳公转的线速度均大于地球公转的线速度 答案　C 解析　小行星带内侧行星受到太阳的万有引力大于外侧行星的万有引力，所以小行星带内侧行星的加速度大于外侧行星的加速度，故A错误；根据G＝mr，可得T＝，可知卫星轨道半径越大，周期越大，因为地球公转的周期为一年，而小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，则各小行星绕太阳运动的周期大于一年，故C正确；由于每颗小行星的质量不一定相等，故与太阳距离相等的每一颗小行星，受到太阳的引力大小都不一定相等，故B错误；G＝m，可得v＝可知，轨道半径越大，线速度越小，所以小行星带内各行星绕太阳公转的线速度均小于地球公转的线速度，故D错误．‎ 变式3　(2017·涟水中学第三次检测)已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，‎ 一颗距离地面高度为2R的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，下列关于卫星运动的说法正确的是(　　)‎ A．线速度大小为 B．角速度为 C．加速度大小为g D．周期为6π 答案　B 解析　根据＝，GM＝gR2可得线速度v＝，所以A错误；又＝mω2(3R)，可得角速度ω＝，所以B正确；又＝ma，得：a＝g，所以C错误；又＝m·3R，得周期T＝6π，故D错误.‎ ‎1.(多选)(2017·南通市如东县、徐州市丰县10月联考)2005年北京时间7月4日下午1时52分，美国小探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大对撞”．如图4所示，假设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其运动周期为5.74年，下列说法中正确的是(　　)‎ 图4‎ A．探测器在撞击彗星前后过程，与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积 B．该彗星近日点处线速度小于远日点处线速度 C．该彗星近日点处加速度大于远日点处加速度 D．该彗星椭圆轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比是一个常数 答案　CD 解析　探测器和彗星绕太阳做椭圆运动的轨迹不相同，故在撞击彗星前后过程，与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不相等，选项A错误；从近日点向远日点运动，万有引力做负功，动能减小，所以近日点的线速度大于远日点的线速度，故B 错误；彗星在近日点所受的万有引力大于在远日点所受的万有引力，根据牛顿第二定律，近日点的加速度大于远日点的加速度，故C正确；根据开普勒第三定律有：＝k(常量)，k是与太阳的质量有关的常数，故D正确．‎ ‎2．(2017·无锡市期末)据《当代天文学》2016年11月17日报道，被命名为“开普勒11145123”的恒星距离地球5000光年，其赤道直径和两极直径仅相差6公里，是迄今为止被发现的最圆天体．若该恒星的体积与太阳的体积的比值约为k1，该恒星的平均密度与太阳的平均密度的比值约为k2，则该恒星的表面重力加速度与太阳的表面重力加速度的比值约为(　　)‎ A.·k2 B.·k2‎ C. D. 答案　A 解析　由G＝mg，‎ 有g＝G＝G＝GρπR，‎ 体积V＝πR3，得R＝ 所以g＝Gρπ，该恒星的表面重力加速度与太阳的表面重力加速度之比为：＝·＝·k2，故A正确，B、C、D错误．‎ ‎3.(2018·涟水中学第一次检测)如图5所示为“嫦娥一号”、“嫦娥二号”卫星先后绕月做匀速圆周运动的示意图，“嫦娥一号”在轨道Ⅰ上运行，距月球表面高度为200 km；“嫦娥二号”在轨道Ⅱ上运行，距月球表面高度为100 km.根据以上信息可知下列判断不正确的是(　　)‎ 图5‎ A．“嫦娥二号”的运行速率大于“嫦娥一号”的运行速率 B．“嫦娥二号”的运行周期大于“嫦娥一号”的运行周期 C．“嫦娥二号”的向心加速度大于“嫦娥一号”的向心加速度 D．“嫦娥二号”和“嫦娥一号”在轨道上运行时，所携带的仪器都处于完全失重状态 答案　B 解析　根据万有引力提供向心力＝m＝m＝ma知，线速度v＝，周期T＝‎ ‎2π ，加速度a＝，轨道半径越大，线速度越小，周期越大，向心加速度越小．故A、C正确，B错误；“嫦娥一号”和“嫦娥二号”在轨道上运行时，所携带的仪器处于完全失重状态．故D正确；本题选不正确的，故选B.‎ ‎4．(2017·响水中学模拟)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运动速率分别为v1和v2.那么v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月做圆周运动，由万有引力提供向心力有＝可得v＝(M为月球质量，R为轨道半径)，它们的轨道半径为R1＝1 900 km、R2＝1 800 km，则v1∶v2＝＝.‎ ‎1．(2017·扬州中学12月考)太阳系的第二大行星土星的卫星很多，其中土卫五和土卫六绕土星的运动可近似看做圆周运动，下表是关于土卫五和土卫六两颗卫星的资料．两卫星相比(　　)‎ 卫星 发现者 发现年份 距土星中心距离/km 质量/kg 直径/km 土卫五 卡西尼 ‎1672年 ‎527 000‎ ‎2.31×1021‎ ‎765‎ 土卫六 惠更斯 ‎1655年 ‎1 222 000‎ ‎1.35×1023‎ ‎2 575‎ A.土卫五绕土星运动的周期较小 B．土卫五绕土星运动的线速度较小 C．土卫六绕土星运动的角速度较大 D．土卫六绕土星运动的向心加速度较大 答案　A 解析　由卫星的运行周期公式T＝，轨道半径越大，周期越大，所以土卫五的周期小，故A正确；由卫星速度公式v＝，轨道半径越大，卫星的线速度越小，则土卫六的线速度小，故B错误；由卫星角速度公式ω＝＝，轨道半径越小，角速度越大，则土卫五的角速度大，故C错误；由卫星向心加速度公式a＝，轨道半径越小，向心加速度越大，则土卫五的向心加速度大，故D错误．‎ ‎2．(2017·南通市第二次调研)2016年，神舟十一号飞船和天宫二号在距地面393千米的圆轨道上顺利对接，比神舟十号与天宫一号对接轨道高出了50千米．则(　　)‎ A．天宫二号运动的周期大于天宫一号运动的周期 B．天宫二号运动的速度大于天宫一号运动的速度 C．天宫二号运动的加速度大于天宫一号运动的加速度 D．天宫二号运动的角速度大于天宫一号运动的角速度 答案　A 解析　根据G＝ma＝m＝mω2r＝mr，根据天宫二号的轨道半径大于天宫一号的轨道半径，可知T2>T1；速度v2