2020届二轮复习函数的奇偶性学案（全国通用） 3页

‎2020届二轮复习 函数的奇偶性 学案 一．知识点 ‎1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。‎ 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。‎ 如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。‎ ‎2.性质：‎ ‎①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，‎ ‎②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,‎ ‎③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，‎ ‎④偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，‎ ‎⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 ‎⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]‎ ‎⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 ‎⑧奇函数在定义域内若有零：则f（0）=0‎ ‎3．奇偶性的判断 ‎1.定义①看定义域是否关于原点对称，　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系。‎ ‎2.看图形的对称性。‎ 二．应用举例 关于从定义出发 例1．（或书例2）判断下列函数的奇偶性、‎ ‎① 非奇非偶函数 ‎② 偶函数 ‎③ 奇函数 ‎④ 既是奇函数又是偶函数 ‎⑤ a=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数 例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0‎ ‎①求证：f(0)=1　　　　　　　②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1‎ ‎②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)　　　　∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数 变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。‎ 解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0‎ 令x1=x x2= -x则f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函数 关于数形结合和性质 例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1‎ ‎①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。‎ ‎②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。‎ 答案：①可确定，‎ ‎②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x2-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。‎ 变式一：书例1‎ 变式二：已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。‎ 分析：用f(-x)=-f(x) (x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，再验证 综合提高与应用。‎ P17书例3‎ 练习：已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数a的取值范围。‎ 简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在上为减函数，∴由有：　　　解得a≤-1或a≥2.‎ 三．小结 ‎１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件；‎ ‎２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（轴）对称 ‎３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性 ‎４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则 ‎５．函数奇偶性的判断与应用。‎ 四．作业　优化设计 备例1．已知g(x)是奇函数，，求f(3)‎ 简解： 相加得：‎ 备例2．f(x)是定义在上的奇函数，且f(x)在上的的单调递减 ‎　①判断f(x)在上的单调性，并用定义证明，‎ ‎②若a>0且a≠1，有，求x的取值范围。‎ 解答见书 备例3：书P17例4‎