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- 2021-04-28 发布
2020年高一下学期期中阶段性评价考试
数 学 试 卷
卷首语：
因疫情影响无法开学，本次考试采取网络阅卷方式，每科试卷与答题卡都提前两小时通过班级群发送，请下载打印，考试中，自觉遵守纪律，做到家校统一，考试结束后，请将答题卡拍照上传。
注意：考试时间120分，试卷总分100分，本卷由高二数学教研组命题，考试范围为必修+选修全部内容，试卷格式与高考一致。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，一定成立的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，，，则最短的边的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．数列，，，，的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列对任意的，满足且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．设的内角，，的对边分别为，，．若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在等差数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．在中，三边，，与面积的关系式为，则角为（ ）
A． B． C． D．
8．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，设，，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，，，，则 ．
14．等比数列的前项和为，已知，，成等比数列，则数列的公比为 ．
15．在中，，，是边上的一点，，的面积为，则的长为 ．
16．设是等比数列，公比，为的前项和．记，．设为数列的最大项，则 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，，为锐角，角，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）若，求，，的值．
18．（12分）在数列中，，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列满足，求的通项公式．
19．（12分）已知，，分别为的内角，，的对边，且满足，函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
（1）证明：；
（2）若，证明：为等边三角形．
20．（12分）设数列，满足，，，且数列是等差数列，数列是等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．（12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为，，测得，，，．
（1）求的长度；
（2）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用
较低？请说明理由．
22．（12分）定义：若数列满足，则称数列为“平方数列”．已知在数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．
（1）证明：数列是“平方数列”，且数列为等比数列；
（2）设（1）中“平方数列”的前项之积为，则，求数列的通项及关于的表达式．
数学 答案与解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由，得．
2．【答案】A
【解析】由三角形内角和定理知，
根据“大角对大边”以及角最小，可知最短的边是，
由正弦定理，解得．
3．【答案】D
【解析】将首项改写为后，观察发现：分式前的符号规律为，
分母，，，，的规律为，分子，，，，的规律为．
4．【答案】C
【解析】，，，故．
5．【答案】C
【解析】由余弦定理，得，
∴，∴，
由，得．
6．【答案】A
【解析】，．
7．【答案】A
【解析】因为且，
所以，所以，所以，所以．
8．【答案】A
【解析】．
9．【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴．
10．【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以．
11．【答案】C
【解析】设等比数列的首项为，公比为，则，，所以，
由等比数列的性质知数列仍是等比数列，其首项为，公比为，
故由等比数列前项和公式，得．
12．【答案】C
【解析】由已知，，∴，
∴．
∵，∴，解得，
∴的最小值为．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】或
【解析】将，，代入，
即，整理得，∴或．
14．【答案】
【解析】由题意可得，
①当时，，即，不符合题意，所以；
②当时，应有，
化简得，得或（舍去）或（舍去）．
15．【答案】或
【解析】如图，
设，由，得，∴．
在中，由余弦定理得，
解的或，
当时，由，得，
又由，得；
当时，同理得．
16．【答案】
【解析】根据等比数列的求和公式，
故，
令，则函数，
当时，函数取得最小值，此时，
而，故此时最大，所以．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2），，．
【解析】（1）∵，为锐角，，∴．
又，∴，，
∴，
∵，∴．
（2）由（1）知，∴．
由正弦定理，得，即，，
∵，∴，
∴，∴，．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）（与无关），
故数列为等差数列，且公差．
（2）由（1）可知，，
故，所以．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，∴．
又∵（为的外接圆半径），
∴，，，
∴，∴．
（2）由题意知，∴，∴，
又∵，∴，
由余弦定理知，∴．
∵，∴，即，∴，
又∵，∴为等边三角形．
20．【答案】（1），；（2）不存在，详见解析．
【解析】（1）由题意得，
∴
．
由已知得，，故数列的公比，
所以，所以．
（2）设，
因为，
所以当时，是增函数．
因为，所以当时，，
又，所以不存在，使得．
21．【答案】（1）；（2）小李的设计建造费用较低，详见解析．
【解析】（1）在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理及整理得，②
由①②得，解得，
又为三角形的内角，即，所以，
又，，所以是等边三角形，故．
（2）小李的设计建造费用较低．理由如下：
，，
因为，，所以，
由题知建造标志费用与用地面积成正比，
故选择建造环境标志费用较低，即小李的设计建造费用较低．
22．【答案】（1）证明见解析；（2），．
【解析】（1）由条件，得，，
∴是“平方数列”．
∵，且，
∴，∴是首项为，公比为的等比数列．
（2）∵，∴，
∴，∴．
∵，
∴．