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- 2021-04-28 发布
德阳五中2018-2019学年高二下期5月月考
文科数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是
A. B.
C. D.
2．设，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
3．已知a、，则“”是“直线“和直线平行”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4．已知复数满足，则 =（ ）
A. 1 B. C. D.
5．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则能得出的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. 2 B.
C. D.
7．阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．设 ，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． 8 C． 9 D． 10
9．在区间上随机取两个实数，记向量，则的概率为
A． B． C． D．
10．在中,所对的角为，满足条件：，，，则边长等于（ ）
A．2 B． C．3 D．4
11．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
12．己知函数，若关于的方程 恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
x
0
2
4
6
y
a
3
5
3a
13．已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程，则a的值为______．
14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______．
15．已知 则的取值范围为______．
16．已知函数，若在区间上单调递增，则a的最小值是______．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
18.（12分）设数列的前n项和为，，满足，，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
19.（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间单位：分钟进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图如图，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
（1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断能否有99%的把握认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
______
______
女
______
______
110
合计
______
______
______
（2）在，这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．
附参考公式与：
20.（12分）四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：平面AEC；
（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．
21．（12分）已知椭圆C：上的动点P到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，Q是椭圆C的左顶点，若，试证明直线l经过不同于点Q的定点．
22．（12分）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈
R，e=2.718…为自然对数的底数.
（1）讨论f(x) 的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1-12 CBCCCCDCBACC
13 2.15 14 1和3 15 16 1
17.解：圆C的参数方程为，为参数，
则，，
，可得，
即圆C的普通方程为，
又，，
圆C的极坐标方程为；
设，则由解得，，
设，则由解得，，
．
18.证明：，，，
，
，
，
，
数列是以1为首项，以2为公比的等比数列
解：由知，
，
，
，
由错位相减得
，
．
19.解：由题意得“课外体育达标”人数：，
则不达标人数为150，
列联表如下：
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
，
在犯错误的概率不超过的前提下没有没有理由或不能认为“课外体育达标”与性别有关
由题意在，分别有20人，40人，
则采取分层抽样在抽取的人数为：人，
在抽取的人数为：人，
抽取的人为A，B，在抽取的人为a，b，c，d，
从这6任中随机抽取2人的情况为：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种，
2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”共有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种，
．
20. 解：Ⅰ证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，
是矩形，
为BD的中点
为PD的中点，
．
平面AEC，平面AEC
平面AEC；
Ⅱ，，三棱锥的体积，
，
，，
作交PB于H，
由题意可知平面PAB，
，
故AH平面PBC，
又在三角形PAB中，由射影定理可得：，
A到平面PBC的距离．
21.解：由已知可得，，解得，，
椭圆的方程；
证明：当直线AB的斜率不存在时，由对称性知QA的倾斜角为或
不妨设QA：，易求 故AB方程为
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为，，，
联立，得．
．
，．
由题意，，则，，
由，得
，
即，得
当时，满足，此时直线方程为：
过定点；
当时，满足，此时直线方程为：，过定点
不合题意．
综上，直线l经过不同于点Q的定点
22.解：（1） ………………1分
<0， 在内单调递减. ………………2分
由=0有.
当 时， <0， 单调递减；
当 时， ＞0， 单调递增. ………………4分
（2）
令= ，则=.
当时， ＞0，所以单调递增，又，，
从而时，=＞0. ………………7分
（3）由（Ⅱ），当时， ＞0.
当， 时， = .
故当＞在区间内恒成立时，必有.………………8分
当时， ＞1.
由（Ⅰ）有,而，
所以此时＞在区间内不恒成立. ………………10分
当时，令= （）.
当时， = .
因此， 在区间单调递增.
又因为=0，所以当时， = ＞0，即＞恒成立.
综上， .………………12分