2020届二轮复习二项式定理课件（54张）（全国通用） 54页

ZUIXINKAOGANG 最新考纲 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 1. 二项式定理 知识梳理 ZHISHISHULI 二项式定理 ( a ＋ b ) n ＝ _____________________________________ ( n ∈ N * ) 二项展开式的通项公式 T k ＋ 1 ＝ ， 它表示 第 _____ 项 二项式系数 二项展开式中各项的 系数 ( k ∈ {0,1,2 ， … ， n }) k ＋ 1 2. 二项式系数的性质 (3) 当 n 是偶数时 ， ____ 项 的二项式系数最大；当 n 是奇数时 ， ____ 与 _____ 项 的二项式系数相等且最大 . 1 1 2 n 1.( a ＋ b ) n 与 ( b ＋ a ) n 的展开式有何区别与联系？ 提示　 ( a ＋ b ) n 的展开式与 ( b ＋ a ) n 的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同 . 2. 二项展开式形式上有什么特点？ 提示　 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为 n ＋ 1. (2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n ，即 a 与 b 的指数的和为 n . (3) 字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n . 【 概念方法微思考 】 3. 二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？ 提示　 不一定最大，当二项式中 a ， b 的系数为 1 时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定 . 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1 ) 是 二项展开式的第 k 项 .( 　　 ) (2) 二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 .( 　　 ) (3)( a ＋ b ) n 的展开式中某一项的二项式系数与 a ， b 无关 .( 　　 ) (4)( a － b ) n 的展开式第 k ＋ 1 项的系数 为 .( 　　 ) (5)( x － 1) n 的展开式二项式系数和为－ 2 n .( 　　 ) × × 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 7 × × √ 题组二　教材改编 1 2 3 4 5 6 7 2 .( 1 ＋ 2 x ) 5 的展开式中， x 2 的系数 等于 A.80 B.40 C.20 D.10 √ 1 2 3 4 5 6 7 3 . 若 展开式 的二项式系数之和为 64 ，则展开式的常数 项为 A.10 B.20 C.30 D.120 √ 4 . 若 ( x － 1) 4 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ，则 a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 的值 为 A.9 B.8 C.7 D.6 解析　 令 x ＝ 1 ，则 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ 0 ， 令 x ＝－ 1 ，则 a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 ＝ 16 ，两式相加得 a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＝ 8. 1 2 3 4 5 6 7 √ 题组三　易错自纠 5.( x － y ) n 的二项展开式中，第 m 项的系数是 1 2 3 4 5 6 7 √ 解析　 ( x － y ) n 二项展开式第 m 项的通项公式为 1 2 3 4 5 6 7 6. 已知 ( x ＋ 1) 10 ＝ a 1 ＋ a 2 x ＋ a 3 x 2 ＋ … ＋ a 11 x 10 . 若数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ， … ， a k (1 ≤ k ≤ 11 ， k ∈ N * ) 是一个单调递增数列，则 k 的最大值 是 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 10 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　二项展开式 命题点 1 　求指定项 ( 或系数 ) 例 1 　 (1)(2017· 全国 Ⅰ ) (1 ＋ x ) 6 的展开式中 x 2 的系数 为 A.15 B.20 C.30 D.35 多维探究 √ (2) 在 ( x 2 － 4) 5 的展开式中，含 x 6 的项为 _____. 160 x 6 命题点 2 　求参数 例 2 　 (1)(2018· 海口调研 ) 若 ( x 2 － a ) 的 展开式中 x 6 的系数为 30 ，则 a 等于 √ √ 令 12 － 3 k ＝ 0 ，得 k ＝ 4 . 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求 ( 求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等 ) ，解出项数 k ＋ 1 ，代回通项公式即可 . 思维升华 跟踪训练 1 　 (1)(2017· 全国 Ⅲ )( x ＋ y )(2 x － y ) 5 的展开式中 x 3 y 3 的系数 为 A . － 80 B . － 40 C.40 D.80 √ 所以 x 3 y 3 的系数为 80 － 40 ＝ 40. 故选 C. (2)( x ＋ a ) 10 的展开式中， x 7 项的系数为 15 ，则 a ＝ ___.( 用数字填写答案 ) 题型二　二项式系数的和与各项的系数和 问题 例 3 　 (1)( a ＋ x )(1 ＋ x ) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 ，则 a ＝ ___. 师生共研 3 解析　 设 ( a ＋ x )(1 ＋ x ) 4 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ， 令 x ＝ 1 ，得 16( a ＋ 1) ＝ a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ， ① 令 x ＝－ 1 ，得 0 ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 － a 5 . ② ① － ② ，得 16( a ＋ 1) ＝ 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ， 即展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 8( a ＋ 1) ， 所以 8( a ＋ 1) ＝ 32 ，解得 a ＝ 3. (2)(2 018· 汕头质检 ) 若 ( x ＋ 2 ＋ m ) 9 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x ＋ 1) ＋ a 2 ( x ＋ 1) 2 ＋ … ＋ a 9 ( x ＋ 1) 9 ，且 ( a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 8 ) 2 － ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 9 ) 2 ＝ 3 9 ，则实数 m 的值为 ________. 解析　 令 x ＝ 0 ，则 (2 ＋ m ) 9 ＝ a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 9 ， 令 x ＝－ 2 ，则 m 9 ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … － a 9 ， 又 ( a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 8 ) 2 － ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 9 ) 2 ＝ ( a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 9 )( a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ a 8 － a 9 ) ＝ 3 9 ， ∴ (2 ＋ m ) 9 · m 9 ＝ 3 9 ， ∴ m (2 ＋ m ) ＝ 3 ， ∴ m ＝－ 3 或 m ＝ 1. 1 或－ 3 (3) 若 的 展开式中含 x 的项为第 6 项，设 (1 － 3 x ) n ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a n x n ， 则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n 的值为 ____. 当 k ＝ 5 时， 2 n － 3 k ＝ 1 ， ∴ n ＝ 8. 对 (1 － 3 x ) 8 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 8 x 8 ， 令 x ＝ 1 ，得 a 0 ＋ a 1 ＋ … ＋ a 8 ＝ 2 8 ＝ 256. 又当 x ＝ 0 时， a 0 ＝ 1 ， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 8 ＝ 255. 255 (1) “ 赋值法 ” 普遍适用于恒等式，对形如 ( ax ＋ b ) n ， ( ax 2 ＋ bx ＋ c ) m ( a ， b ， c ∈ R ) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法 . (2) 若 f ( x ) ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a n x n ，则 f ( x ) 展开式中各项系数之和为 f (1) ， 奇 数 项系数之和为 a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＝ ， 偶数项系数之和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＝ . 思维升华 解　 令 x ＝ 1 ，则 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝－ 1. ① 令 x ＝－ 1 ，则 a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 － a 5 ＋ a 6 － a 7 ＝ 3 7 . ② 跟踪训练 2 　 已知 (1 － 2 x ) 7 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 7 x 7 . 求： (1) a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ； 解　 ( ① － ② )÷2 ， (2) a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 ； 解　 ( ① ＋ ② )÷2 ， (3) a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ； 解　 方法一 　 ∵ (1 － 2 x ) 7 展开式中， a 0 ， a 2 ， a 4 ， a 6 大于零，而 a 1 ， a 3 ， a 5 ， a 7 小于零， ∴ | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 | ＝ ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ) － ( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 ) ＝ 1 093 － ( － 1 094) ＝ 2 187. 方法二　 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 | 即为 (1 ＋ 2 x ) 7 展开式中各项的系数和，令 x ＝ 1 ， ∴ | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 | ＝ 3 7 ＝ 2 187 . (4)| a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 |. 题型三　二项式定理的应用 师生共研 例 4 　 (1) 设 a ∈ Z 且 0 ≤ a <13 ，若 51 2 012 ＋ a 能被 13 整除，则 a 等于 A.0 B.1 C.11 D.12 √ A.i B . － I C . － 1 ＋ i D . － 1 － i √ ＝ (1 ＋ x ) 2 017 － 1 ＝ i 2 017 － 1 ＝ i － 1. (1) 逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解 . (2) 利用二项式定理解决整除问题的思路 ① 观察除式与被除式间的关系； ② 将被除式拆成二项式； ③ 结合二项式定理得出结论 . 思维升华 ∵ 前 10 项均能被 88 整除， ∴ 余数是 1. √ 解析　 当 x ＝ 0 时，左边＝ 1 ，右边＝ a 0 ， ∴ a 0 ＝ 1. － 1 3 课时作业 PART THREE 基础 保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(2018· 贵港联考 ) 在 的 展开式中，常数 项为 A . － 240 B . － 60 C.60 D.240 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2018· 南宁联考 ) 的 展开式中 x 3 项的系数 为 A.80 B . － 80 C . － 40 D.48 √ 令 5 － 2 k ＝ 3 ， 得 k ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2018· 广州海珠区模拟 )( x ＋ y )(2 x － y ) 6 的展开式中 x 4 y 3 的系数 为 A. － 80 B . － 40 C.40 D.80 √ 当 k ＝ 2 时， T 3 ＝ 240 x 4 y 2 ，当 k ＝ 3 时， T 4 ＝－ 160 x 3 y 3 ， 故 x 4 y 3 的系数为 240 － 160 ＝ 80 ，故选 D. 4.(1 ＋ 3 x ) n 的展开式中 x 5 与 x 6 的系数相等，则 x 4 的二项式系数 为 A.21 B.35 C.45 D.28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(4 x － 2 － x ) 6 ( x ∈ R ) 展开式中的常数项 是 A. － 20 B . － 15 C.15 D.20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 设展开式中的常数项是第 k ＋ 1 项， ∵ 12 x － 3 kx ＝ 0 恒成立， ∴ k ＝ 4 ， 6.(2018· 海南联考 )( x 2 ＋ x ＋ 1)( x － 1) 4 的展开式中， x 3 的系数为 A. － 3 B. － 2 C.1 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 即 (1 ＋ a ) 7 ＝－ 1 ，解得 a ＝－ 2. 7.(2018· 长郡中学质检 ) 若 二项式 的 展开式中的各项系数之和为－ 1 ，则含 x 2 的项的系数 为 A.560 B . － 560 C.280 D . － 280 √ 令 14 － 3 k ＝ 2 ， 得 k ＝ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(2018· 益阳市、湘潭市调考 ) 若 (1 － 3 x ) 2 018 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ … ＋ a 2 018 x 2 018 ， x ∈ R ，则 a 1 ·3 ＋ a 2 ·3 2 ＋ … ＋ a 2 018 ·3 2 018 的值 为 A.2 2 018 － 1 B.8 2 018 － 1 C.2 2 018 D.8 2 018 解析　 由已知，令 x ＝ 0 ，得 a 0 ＝ 1 ， 令 x ＝ 3 ，得 a 0 ＋ a 1 ·3 ＋ a 2 ·3 2 ＋ … ＋ a 2 018 ·3 2 018 ＝ (1 － 9) 2 018 ＝ 8 2 018 ， 所以 a 1 ·3 ＋ a 2 ·3 2 ＋ … ＋ a 2 018 ·3 2 018 ＝ 8 2 018 － a 0 ＝ 8 2 018 － 1 ， 故 选 B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 若将函数 f ( x ) ＝ x 5 表示为 f ( x ) ＝ a 0 ＋ a 1 (1 ＋ x ) ＋ a 2 (1 ＋ x ) 2 ＋ … ＋ a 5 (1 ＋ x ) 5 ，其中 a 0 ， a 1 ， a 2 ， … ， a 5 为实数，则 a 3 ＝ ___.( 用数字作答 ) 解析　 f ( x ) ＝ x 5 ＝ (1 ＋ x － 1) 5 ， 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 若 的 展开式中 x 3 项的系数为 20 ，则 log 2 a ＋ log 2 b ＝ ___. 0 令 12 － 3 k ＝ 3 ，则 k ＝ 3 ， ∴ log 2 a ＋ log 2 b ＝ log 2 ( ab ) ＝ log 2 1 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.91 92 除以 100 的余数是 ___. 所以 91 92 除以 100 的余数是 81. 81 12.(2018· 南阳模拟 ) 若 (1 ＋ x ＋ x 2 ) 6 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 12 x 12 ，则 a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 12 ＝ ____.( 用数字作答 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 364 解析　 令 x ＝ 1 ，得 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 12 ＝ 3 6 ， 令 x ＝－ 1 ，得 a 0 － a 1 ＋ a 2 － … ＋ a 12 ＝ 1 ， 令 x ＝ 0 ，得 a 0 ＝ 1 ， 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(2018· 珠海模拟 ) 在 (1 ＋ x ) 6 (1 ＋ y ) 4 的展开式中，记 x m y n 项的系数为 f ( m ， n ) ，则 f (3,0) ＋ f (2,1) ＋ f (1,2) ＋ f (0,3) 等于 A.45 B.60 C.120 D.210 √ 所以 f (3,0) ＋ f (2,1) ＋ f (1,2) ＋ f (0,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2018· 衡水模拟 ) 已知 ( n ∈ N * ) 的展开式中所有项的二项式系数之和 、 系数 之和分别为 p ， q ，则 p ＋ 64 q 的最小值为 ___. 16 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则展开式中常数项为－ 360 － 243 － 1 080 ＝－ 1 683 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又 ∵ 0 ≤ k ≤ 9 ， ∴ k ＝ 2,6. 故 有理项为 T 3 ＝ ＝ 144 x 3 ， T 7 ＝ ＝ 5 376. 设展开式中的有理项为 T k ＋ 1 ，