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- 2021-04-28 发布
数学试题
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1.若集合 有且仅有 2 个子集,则实数 的值为（ ）
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
∵集合 有且仅有 2 个子集，∴集合 只有一个元素，若
，即 时，方程等价为 ，解得 ，满足条件，若 ，
即 时，则方程满足 ，即 ，∴ ，解得 或
，综上 或 ，故选 B.
2.已知集合 则 等于 （ ）
A. {0，1，2，3，4} B.
C. {-2，-1，0，1，2，3，4} D. {2，3，4}
【答案】A
【解析】
【详解】∵ 故选 A.
3.函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知 恒成立，当 时 恒成立；当
( ){ }22 2 1 0A x k x kx= + + + = k
2− 2± 1− 2 1− 2− 1−
( ){ }22 2 1 0A x k x kx= + + + = A
2 0k + = 2k = − 4 1 0x− + = 1
4x = 2 0k + ≠
2k ≠ − 0= ( )24 4 2 0k k− + = 2 2 0− − =k k 2k =
1k = − 2k = ± 1k = −
{ }| , { | 2 4},A x y x B x x= = = ∈ − ≤ ≤Z A B
{ | 0 4}x x≤ ≤
{ } { } { }| 0 , 2, 1,0,1,2,3,4 , 0,1,2,3,4 .A x x B A B= ≥ = − − ∴ ∩ =
( )
2
2 3
1
mxf x
mx mx
−=
+ + R m
( )0,4 [ )0,4 [ ]0,4 ( ]0,4
2 1 0mx mx+ + > 0m = 1 0> 0m ≠
时需满足 ，代入解不等式可得 ，综上可知实数 的取值范围是
考点：函数定义域
4.已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
则 ．
故选： ．
5.已知函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可以得出 ，从而得出 c＜a，同样的方法得出 a＜b，从而得出 a，
b，c 的大小关系．
【详解】 , ,根据对数函数的单调性得到
a>c,
0
0
m >
∆ < 0 4m< < m [ )0,4
12 1 2( )
1( 1) 1 2
x x
f x
f x x
− < − + ≥
1 7
4 6f f + =
1
6
− 1
6
5
6
5
6
−
12 1 2( )
1( 1) 1 2
x x
f x
f x x
− < = − + ≥
1 7 1 1 1 1 12 1 1 2 14 6 4 6 2 6 6f f f + = × − + + = + × − = −
A
ln( ) xf x x
= (2)a f= (3)b f= (5)c f= a b c
b c a< < b a c< < a c b< <
c a b< <
1 1ln32, ln 2510 10a c= =
( ) ln 2 ln322 2 10a f= = = ( ) 1 ln 255 ln55 10c f= = =
,又因为 ， ，再由对数函数的
单调性得到 a > ( ) ( ) ( ) ( )f b f a g a g b− − > − −
( ) ( ) ( ) ( )f b f a g a g b− − < − − ( ) ( ) ( ) ( )f a f b g b g a− − > − −
( ) ( ) ( ) ( )f a f b g b g a− − < − −
( ) ( ) ( ) ( ), , ,f b f a g b g a− − − −
( )f x R ( )g x y
( ) ( ) ( ) ( ),f a g a f b g b= = ( ) ( ) ( )0 0f a f b f> > =
( ) ( ) ( ) ( )f b f a g a g b− − > − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )f b f a g a g b+ > − ⇔
( ) ( ) ( ) ( )f b f a f a f b+ > − ⇔ ( ) 0f b > ( ) 0f b >
( ) ( ) ( ) ( )f b f a g a g b− − < − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )f b f a g a g b+ < − ⇔
( ) ( ) ( ) ( )f b f a f a f b+ < − ⇔ ( ) 0f b < ( ) 0f b <
( ) ( ) ( ) ( )f a f b g b g a− − > − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )f a f b g b g a+ > − ⇔
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f b f a+ > − ⇔ ( ) 0f a > ( ) 0f a >
( ) ( ) ( ) ( )f a f b g b g a− − < − − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )f a f b g b g a+ < − ⇔
， 不成立，故④不成立.
综上所述，正确结论的序号为①③.
故选 C.
【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性比较大小，考查化归与转化的数学思想
方法，属于基础题.
7.已知 ，若 为奇函数，且在 上单调递增，则实数 的
值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据奇函数性质确定 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.
【详解】因为 为奇函数，所以
因为 ，所以
因此选 B.
【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
8.已知 ，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将 都化成以 为底的指数形式，根据 的单调性判断出三者的大小关系.
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f b f a+ < − ⇔ ( ) 0f a < ( ) 0f a <
1 11,2, ,3,2 3a ∈ − ( ) af x x= (0, )+∞ a
1,3− 1 ,33
11, ,33
−
1 1, ,33 2
a
( ) af x x= 11,3, 3a ∈ −
( ) ( )0,f x +∞在 上单调递增 13, 3a ∈
1.2
0.8 0.46 14 , 8 , 2a b c
− = = =
c b a< < c a b< < a b c< <
a c b< <
, ,a b c 2 2xy =
【详解】由于 ，由于 在 上递增，而 ，所
以 .
故选 A.
【点睛】本小题主要考查指数运算，考查利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题.
9. 在区间 上恒正，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 以上都
不对
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数 在区间
上恒正，则 ，即 ，解得 ，故选 C．
考点：函数的单调性的应用．
10.函数 f(x)＝3x＋ x－2 的零点所在的一个区间是( )
A. (－2，－1) B. (－1,0)
C. (0,1) D. (1,2)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数 f（x）＝3x＋ x－2 是 R 上的连续函数，且单调递增， ，结合函
数零点的判定定理，可得结论．
【详解】由已知可知，函数 单调递增且连续，
∵ ， ， ， ，
∴ ，由函数的零点判定定理可知，函数 的一个零点所
在的区间是 ，
故选 C.
1.6 1.38 1.22 , 2 , 2a b c= = = 2xy = R 1.2 1.38 1.6< <
c b a< <
( ) ( )22f x a x a= − + [ ]0,1 a
0a > 0 2a< < 0 2a< <
( ) ( )22f x a x a= − + [ ]0,1
(0) 0{ (1) 0
f
f
>
> 2
0{2 0
a
a a
>
− + > 0 2a< <
1
2
1
2
( ) ( )0 1 0f f⋅ <
( ) 13 22
xf x x= + −
( ) 262 09f − = − < ( ) 131 06f − = − < ( )0 1 0f = − < ( ) 31 02f = >
( ) ( )0 1 0f f⋅ < ( ) 13 22
xf x x= + −
( )0,1
【点睛】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．
11.已知定义在 上的函数 ，若对任意两个不相等的实数 ， ，都有
，则称函数 为“ 函数”.给出以下四个函数：① ；
② ；③ ；④ 其中“ 函数”的序号为
（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②③④
【答案】C
【解析】
定义在 上的函数 ，若对任意两个不相等的实数 ，
都有 ，则称函数 为“ 函数”
即
可得 ，即 ，
所以函数 为定义域上的单调递减函数，
① 单调递增函数；
② 是单调减函数；
③ 是单调减函数；
④ 是偶函数，不是减函数，
所以四个函数中只有②③为“ 函数”，故选C.
点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，本题的解答中涉及到函数单调性的判定方法
和函数的奇偶性的应用，同时考查了函数的新定义的理解，其中根据新定义化简，得到函数
的单调性是解答的关键.
为
R ( )f x 1x 2x
( ) ( )1 1 2 2 1x f x x f x x+ <
( ) ( )2 2 1f x x f x+ ( )f x D ( ) exf x x= +
( ) 3 2f x x x= − − ( ) e xf x −= ( ) ln , 0,
0, 0.
x xf x
x
≠= = D
R ( )f x 1 2,x x
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x+ < + ( )f x D
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 1( ) ( ) 0x f x f x x f x f x− + − <
( ) ( )1 2 1 2( )( ) 0x x f x f x− − < ( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− <−
( )f x
( ) exf x x= +
( ) 3 2f x x x= − −
( ) e xf x −=
( ) ln , 0,
0, 0.
x xf x
x
≠= =
D
12.已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大依
次为 则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出函数 的图像，根据函数 有四个不同的零点，得到 与
有四个交点，由图像得到 ，再由题意得到 是方程 的两根，得到
， 由 是 方 程 的 两 根 ， 得 到 ， 所 以
，令 ，导数的方法判断其单调性，进而可求
出结果.
【详解】根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像，
要使函数 有四个不同的零点，只需 与 有四个交点；
由图像可得： ，
又 是方程 的两根，即 的两根，
所以 ；
因为 是方程 的两根，即 的两根，
从而有 ，
所以 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立；
2( 1) , 0
( ) 4 3, 0
xe x
f x
x xx
+ ≤= + − >
( )y f x a= −
1 2 3 4, , ,x x x x 1 2 3 4x x x x+ +
( ]5,3+ e [4,4 )e+ [ )4 + ∞，
(4,4 )e+
( )f x ( )xy f a= − ( )y f x= y a=
( ]1,a e∈ 1 2,x x 2( 1)xe a+ =
1 2 1 ln= −x x a 3 4,x x 4 3x ax
+ − = 3 4 3x x a+ = +
1 2 3 4 4 ln+ + = + −x x x x a a ( ) 4 ln= + −g a a a
( )xy f a= − ( )y f x= y a=
( ]1,a e∈
1 2,x x 2( 1)xe a+ = 2 2 1 ln 0x x a+ + − =
1 2 1 ln= −x x a
3 4,x x 4 3x ax
+ − = 2 (3 ) 4 0x a x− + + =
3 4 3x x a+ = +
1 2 3 4 1 ln 3 4 ln+ + = − + + = + −x x x x a a a a
( ) 4 ln= + −g a a a ( ]1,a e∈
1( ) 1 0′ = − >g a a
( ]1,a e∈
所以 在 单调递增，
所以 ，即 ；
即 的取值范围为
故选 A.
【点睛】本题利用数形结合思想综合考查分段函数零点问题与函数对称问题，考查了二次函
数韦达定理 应用，属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知函数 是 R 上的奇函数，且 为偶函数，若 ，则
____.
【答案】1
【解析】
【详解】奇函数图像关于原点对称，且 是偶函数，则 关于直线
对 称 . 由 此 可 知 ， 函 数 是 周 期 函 数 ， 周 期 为 8 ， 故
.
【点睛】本题主要考察函数的奇偶性，考查函数图像变换，考查函数对称性与周期性.已知
一个函数是奇函数，则其图像关于原点对称，且当函数在原点有定义时，有 .函数
与 函 数 的 图 像 关 系 是 函 数 图 像 整 体 向 左 平 移 个 单 位 ， 得 到
的
( ) 4 ln= + −g a a a ( ]1,a e∈
(1) ( ) ( )< ≤g g a g e 5 ( ) 3< ≤ +g a e
1 2 3 4x x x x+ + ( ]5,3+ e
( )f x ( 2)f x + (1) 1f = (8) (9)f f+ =
( )0 0f = ( )2f x + ( )f x
2x =
( ) ( ) ( ) ( )8 9 0 1 0 1 1f f f f+ = + = + =
( )0 0f =
( )f x ( )2f x + ( )f x 2
的图像.
14.函数 的单调减区间为__________.
【答案】
【解析】
要使函数有意义，则 4﹣x2＞0，即﹣2＜x＜2，设 y=4﹣x2，则函数在[0，2）上单调递减，
故函数 y=ln（4﹣x2）的单调减区间为[0，2），故填[0，2）
点睛：解决复合函数函数单调性的有关问题，一般利用复合函数的“同增异减”来解决，注
意内层函数的值域是外层函数定义域的子集，否则容易求错单调区间.
15.己知函数 ，则不等式 的解集是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得函数 f（x）＝x2（2x﹣2﹣x）为奇函数且在 R 上是增函数，则不等式 f
（2x+1）+f（1） 0 可以转化为 2x+1 ﹣1，解可得 x 的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，对于函数f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），有 f（﹣x）＝（﹣x）2（2﹣x﹣2x）＝﹣x2
（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），
则函数 f（x）为奇函数，
函数 f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），其导数 f′（x）＝2x（2x﹣2﹣x）+x2•ln2（2x+2﹣x）＞0，则 f
（x）为增函数；
不等式 f（2x+1）+f（1） 0⇒f（2x+1） ﹣f（1）⇒f（2x+1） f（﹣1）⇒2x+1 ﹣1，
解可得 x ﹣1；
即 f（2x+1）+f（1） 0 的解集是[﹣1,+∞）；
故答案为[﹣1,+∞）．
【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用奇偶
性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．
16.已知 ，又 ，若满足 的 有三个，
则 的取值范围是__________．
( )2f x +
2
2( ) log (4 )f x x= −
(0 )2，
2( ) (2 2 )x xf x x −= − (2 1) (1) 0f x f+ + ≥
[ 1, )− +∞
≥ ≥
≥ ≥ ≥ ≥
≥
≥
( ) 1xf x e= − ( ) ( ) ( )( )2g x f x tf x t R= − ∈ ( ) 1g x = − x
t
【答案】
【解析】
由题意作函数 的图象：
令 ，由图得 ，代入 得 ，∵满足
的 有三个，∴由图得即 有两个根，其中一个在 中，另外
一个在 中，∴ ，解得 ，即 的取值范围是 ，故答案
为 ．
点睛：本题考查方程根的个数问题的转化，一元二次方程根的分布问题，以及换元法的应用，
考查数形结合思想，转化思想；由题意作函数 的图象，令 ，由图
求出 的范围，代入方程 化简，由条件和图象判断出方程的根的范围，由一元
二次方程根的分布问题列出不等式，求出 的取值范围.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.设函数 .
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）若函数 是 上的减函数，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
( )2,+∞
( ) 1xf x e= −
( )m f x= 0m ≥ ( ) ( ) ( )2 1g x f x tf x= − = − 2 1 0m tm− + =
( ) 1g x = − x 2 1 0m tm− + = 01（ ，）
[1 + ∞， ）
2
2
2
0 0 1 0
1 1 1 0
4 0
t
t
t
− × +
− × + ≤
= −
＞
＞
2t > t ( )2,+∞
( )2,+∞
( ) 1xf x e= − ( )m f x=
m ( ) 1g x = −
t
( )2 4 1 8 4, 1( )
, 1x
x a x a xf x
a x
− + − + <= ≥
1
2a = ( )f x
( )f x ( ),−∞ +∞ a
( )2,− +∞ 1 4
4 13
，
（1）当 时，求得分段函数 解析式，画出函数 的图像，由此求得函数的
值域.
（2）根据函数 在 上递减列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，画出函数的图像如下图所示，由图可
知函数的值域为 .
（2）由于函数 在 上递减，故 ，解得 ，所以
实数 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查分段函数定义域的求法，考查根据分段函数在 上递减求参数的
取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
18.设全集为 R，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围．
的1
2a = ( )f x ( )f x
( )f x R a
1
2a = ( )
2 3 , 1
1 , 12x
x x x
f x
x
− <= ≥
( )2,− +∞
( )f x R
( ) 1
4 1 12
0 1
1 4 1 8 4
a
a
a a a
+ ≥
< <
− + − + ≥
1 4
4 13a≤ ≤
a 1 4
4 13
，
R
{ | 3 6}A x x x= ≤ ≥或 { | 2 9}B x x= − < <
,( )RA B C A B∪ ∩
{ | 1}C x a x a= < < + BC ⊆ a
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）将集合 ，集合 分别在数轴上标识出来，即可直观地得出结
果；（2） 按题意将集合 在数轴上标识出来，即可直观地得出 的取值条件，从而计
算出 的取值范围.在解决问题的过程中特别要注意端点的处理.
试题解析：（1）由图一知: ；由图二知： .
（2） ， 两者的关系在数轴上表示出来大致如图三所示，由图三知：
考点：1、集合交、并、补的定义和运算；2、子集的定义；3、含参数的集合问题.
19.已知函数 ，函数 ．
（1）求函数 的值域；
（2）若不等式 对任意实数 恒成立，试求实数 的取值范围．
【答案】（1）[－4，﹢∞)；（2） ．
【解析】
【分析】
A B R∪ = ( ) { }| 3 6RC A B x x∩ = < < { }| 2 8a a− ≤ ≤
A B、 RC A B、
B C、 a
a
A B R∪ = ( ) { }| 3 6RC A B x x∩ = < <
C B⊆ ∴
{ }2 2{ { | 2 81 9 8
a a a aa a
≥ − ≥ −⇒ ⇒ − ≤ ≤+ ≤ ≤
( ) ( )2 2log log 28
xf x x = ⋅
( ) 14 2 3x xg x += − −
( )f x
( ) ( ) 0f x g a− ≤ 1 ,22a ∈ x
2 2 22 2x− ≤ ≤
（1）将原函数转化为二次函数，根据求二次函数最值的方法求解即可．（ 2）由题意得
，求得 ，然后通过解对数不等式可得所求范围．
【详解】（1）由题意得
，
即 的值域为[－4，﹢∞)．
（2）由不等式 对任意实数 恒成立得 ，
又 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴当 时， = ．
∴ ，即 ，
整理得 ，即 ，
解得 ，
∴实数 x 的取值范围为 ．
点睛】解答本题时注意一下两点：
（1）解决对数型问题时，可通过换元的方法转化为二次函数的问题处理，解题时注意转化
思想方法的运用；
（2）对于函数恒成立的问题，可根据题意转化成求函数的最值的问题处理，特别是对于双
变量的问题，解题时要注意分清谁是主变量，谁是参数．
20.已知 的定义域为 ,且满足 ,对任意 ,x2 ,都有
,当 时, ．
求 ；
【
( ) ( )minf x g a≤ ( )min 1 2 2g a = − −
( ) ( )( ) ( )2
2 2 2 2log 3 log 1 log 2log 3f x x x x x= − + = − −
( )2
2log 1 4 4x= − − ≥ −
( )f x
( ) ( )gf x a≤ 1 ,22a ∈
( ) ( )mingf x a≤
( ) ( ) ( ) ( )2 21g 4 2 3 2 2 2 3 2 1 4a a a a aa += − − = − − = − −
1t 2 , ,22
a a = ∈ t 2,4 ∈
( ) ( )22g t 2t 3 t 1 4a = − − = − −
t 2= ( )ming a 1 2 2− −
( ) 1 2 2f x ≤ − − ( )2
2log 1 4 1 2 2x − − ≤ − −
21 2 log 1 2 1x− ≤ − ≤ − 22 2 log 2x− ≤ ≤
2 2 22 2x− ≤ ≤
2 2 2[2 ,2 ]−
( )f x ( )0,+∞ ( )4 1f = 1x ( )0,∈ +∞
( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = + ( )0,1x∈ ( ) 0f x <
( )1 ( )1f
证明 在 上是增函数；
解不等式 ．
【答案】 0； 证明见解析； .
【解析】
【分析】
由已知中 ,令 ,可得 的值；
由 ,可得 ,结合 时,
及增函数的定义可证得结论；
令 ,可得 , , ,可得 ,结合 的定义域为
, ,及 中函数的单调性,可将不等式
转化为一个关于 的不等式.本题考查的知识点是抽象函数及其
应用．
【详解】 对任意 , ,都有 ,
令 ,
,
则
设 , 且 ,
对任意 , ,都有 ,
则
,
,又当 时, , ,
( )2 ( )f x ( )0,+∞
( )3 ( ) ( )3 1 2 6 3f x f x+ + − ≤
( )1 ( )2 ( )( ]3 3,5
( )1 ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = + 1 2 1x x= = ( )1f
( )2 ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = + ( ) ( ) 1
1 2
2
xf x f x f x
− =
( )0,1x∈
( ) 0.f x <
( )3 1 2 4x x= = ( )16 2f = 1 4x = 2 16x = ( )64 3f = ( )f x
( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = + ( )2
( ) ( )3 1 2 6 3f x f x+ + − ≤ x
( )1 1x 2x ( )0,∈ +∞ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = +
1 2 1x x= =
( ) ( ) ( )1 1 1 1f f f⋅ = +
( )1 0f =
( )2 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x<
1x ( )2 0,x +∞ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = +
∴ ( ) ( ) 1
1 2
2
xf x f x f x
− =
1 20 x x< <
1
2
0 1x
x
∴ < < ( )0,1x∈ ( ) 0f x < ( ) ( ) 1
1 2
2
0xf x f x f x
∴ − = <
在 上是增函数
令 ,则 ,
令 , ,则 ,
结合 定义域为 , 恒成立，
.
不等式的解集为
【点睛】本题考查的是抽象函数及其应用,函数的单调性证明,以及赋值法的应用,属于中档题,
在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及赋值法等知识 值得同学们体
会和反思．
21.某种商品在 天内每件的销售价格 （元）与时间 （ ）（天）的函数关系满足函
数 ，该商品在 天内日销售量 （件）与时间
（ ）（天）之间满足一次函数关系如下表：
第 天
件
（1）根据表中提供的数据，确定日销售量 与时间 的一次函数关系式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值并指出日销售金额最大的一天是 天中的第几天,
（日销售金额 每件的销售价格 日销售量）
【答案】(1) （ ， ）；(2)当 时，日销售金额最大，且最
大值为 元.
【解析】
试题分析：（1）在解答时，应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情
的
( )f x∴ ( )0, ∞+
( )3 1 2 4x x= = ( ) ( ) ( )16 4 4 2f f f= + =
1 4x = 2 16x = ( ) ( ) ( )64 4 16 3f f f= + = ( ) ( ) ( )3 1 2 6 3 64f x f x f∴ + + − ≤ =
( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = +
( )( )
3 1 0
2 6 0
3 1 2 6 64
x
x
x x
+ >
∴ − >
+ − ≤
( ]3,5x∴ ∈
∴ ( ]3,5
.
30 P t *t ∈N
*
*
20(0 25 )
100(25 30 )
t t tP
t t t
N
N
，
，
+ < < ∈= − + ≤ ≤ ∈ 30 Q t
*t ∈N
t 5 15 20 30
Q 35 25 20 10
Q t
30
= ×
40Q t= − + 0 30t< ≤ *t ∈N 25t =
1125
况讨论即可获得日销售金额 y 关于时间 t 的函数关系式；
（2）根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解
答．
试题解析：（1）设日销售量 与时间 的一次函数关系式为： （ ），
由表格中数据 ， 得 ，
解得 .故日销售量 与时间 的一个函数关系式为： （ ，
）.
（2）由（1）可得商品的日销售金额与时间 的函数关系式满足 ，即
.
当 时， ， 时，函数取最大值 .
当 时， ， 时，函数取最大值 .
综上可得，当 时，日销售金额最大，且最大值为 元.
点睛：本题是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函
数求最值的方法以及问题转化的能力．值得同学们体会反思，分段函数求最值时，先求每一
段上函数的最值，再比较两者的大小，即可得到函数的最值．
22.已知函数 ．
（1）若 ， ，求 的值域；
（2）当 时，求 的最小值 ；
（3）是否存在实数 、 ，同时满足下列条件：① ；② 当 的定义域为
时，其值域为 ．若存在，求出 、 的值；若不存在，请说明理由．
Q t Q kt b= + 0k ≠
( )5 35， ( )30 10， 5 35
30 10
k b
k b
+ =
+ =
1
40
k
b
= −
= Q t 40Q t= − + 0 30t< ≤
*t N∈
t y PQ=
( )
2 *
2 *
20 800(0 25 )
140 4000 25 30
t t t t N
y
t t t t N
，
， ，
− + + < < ∈= − + ≤ ≤ ∈
0 25t< < ( )210 900y t= − − + 10t = 900
25 30t≤ ≤ ( )270 900y t= − − 25t = 1125
25t = 1125
( ) 9 2 3 3x xf x a= − ⋅ +
1a = [0 ,1]x∈ ( )f x
[ 1,1]x∈ − ( )f x ( )h a
m n 3n m> > ( )h a [ ],m n
2 2[ , ]m n m n
【答案】(1) (2) (3) 不存在满足条件的实数 、 ．见解
析
【解析】
【分析】
（1）设 t＝3x，则 φ（t）＝t2﹣2at+3＝（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为 t＝a，当 a＝1
时，即可求出 f（x）的值域；
（2）由函数 φ（t）的对称轴为 t＝a，分类讨论当 a 时，当 a≤3 时，当 a＞3 时，
求出最小值，则 h（a）的表达式可求；
（3）假设满足题意的 m，n 存在，函数 h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出 h（a）的定
义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，
因为 ，所以 ， ．
（2）令 ，因为 ，故 ，函数 可化为
．
① 当 时， ；
② 当 时， ；
③ 当 时， ．
综上，
[2 , 6] 2
28 2 1, ,9 3 3
1( ) 3 , 3,3
12 6 . 3.
a a
h a a a
a a
− <
= − ≤ ≤
− >
m n
1
3
＜ 1
3
≤
1a = 9 2 3 3x xy = − ⋅ + 2(3 1) 2xy = − +
[0 ,1]x∈ 3 [1,3]x ∈ [2,6]y∈
3x t= [ 1,1]x∈ − 1 ,33t ∈ ( )f x
2 2 2( ) 2 3 ( ) 3g t t at t a a= − + = − + −
1
3a < 1 28 2( ) 3 9 3
ah a g = = −
1 33 a≤ ≤ 2( ) ( ) 3h a g a a= = −
3a > ( ) (3) 12 6h a g a= = −
2
28 2 1, ,9 3 3
1( ) 3 , 3,3
12 6 . 3.
a a
h a a a
a a
− <
= − ≤ ≤
− >
（3）因为 ， 为减函数，
所以 在 上的值域为 ，
又 在 上的值域为 ，所以， 即
两式相减，得 ，
因为 ，所以 ，而由 可得 ，矛盾．
所以，不存在满足条件的实数 、 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图
象和单调性处理，是中档题．
3n m> > ( ) 12 6h a a= −
( )h a [ ],m n [ ( ), ( )]h n h m
( )h a [ ],m n 2 2[ , ]m n
2
2
( ) ,
( ) ,
h n m
h m n
=
=
2
2
12 6 ,
12 6 ,
n m
m n
− =
− =
2 26( ) ( )( )m n m n m n m n− = − = + −
3n m> > 6m n+ = 3n m> > 6m n+ >
m n