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- 2021-04-28 发布
永春一中高三年考前适应性训练（理科）数学（2019.05）
时间：120分钟 满分：150分
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．记为等差数列的前项和，公差，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）
A． B．
C． D．
5. 若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。在 《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法。现有一
个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如右图所
示，财该五面体的体积为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．28
7．化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
8．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于两点，若四边形是菱形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．设，，当取最小值时的的值为（ ）
A． B． C． D．
10. 下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）
A． B．
第10题图
C． D．
11．已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，，，，则 ．
14． 的展开式中的系数为 ．（用数字填写答案）
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围为 ．
16．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则过点且与直线相切的圆的方程为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）
已知数列中，，，前n项和为，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和为．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，在线段上，且.
（1）证明：；
（2）若，面面
，求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是坐标原点.
（1）若直线过点且，求直线的方程；
（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点.
20.（本小题满分12分）
“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了与的两个回归模型：模型①： ；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为：．
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数，．）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于亿元时，国家给予公司补贴收益亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入亿元与亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式;）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，
公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．
（附：随机变量服从正态分布，则，．）
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若在上成立，求的取值范围.
（二）选考题：共10分．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求实数的取值范围．
永春一中高三年考前适应性训练（理科）数学（2019.05）
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
D
A
C
B
B
C
D
D
D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
（17）解：（1）在数列中，①
∵②且，∴①式÷②式得：，
∴数列以为首项，公差为1的等差数列，
∴ ……3分
当时，，
当时，，也满足上式，
∴数列的通项公式为. ……6分
（2） 由（1）知，，
则 ①
②
①- ②得，
……12分
（18）解：（1）连接交于点，连接. …………1分
因为，所以，又因为，所以，
所以， ………3分
又，，所以 …………4分
（2）过作于，因为，所以是线段的中点.
因为面面，面面，所以.连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以。如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标 ………6分
不妨设，则，，，，，
由，得，的中点
， ………7分
设面的一个法向量为，则
，即，取得 ……9分
的一个法向量为，则
…………11分
所以二面角的余弦值为. …………12分
（19） 解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为
，与抛物线的交点坐标分别为，此时，不符合题意，故直线的斜率存在. …………1分
设直线方程为与联立得，
当时，方程只有一根，不符合题意，故.
，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得
，解得， …………4分
所以方程为或 …………5分
法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为，
与联立得，设
…………2分
由，解得， …………4分
所以方程为或 …………5分
（2）设，
设直线方程为与联立得
…………6分
由得，即 …………7分
整理得，即
整理得， …………9分
即，即 …………11分
故直线方程为过定点 …………12分
（20）解：（1）由表格中的数据，有，即 1分
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 2分
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为
（亿元） 3分
（2）由已知可得：，所以 4分
，所以 5分
所以
所以当亿元时，与满足的线性回归方程为： 6分
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值
所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元
所以技改造投入亿元时，公司的实际收益的更大 7分
（3）因为
所以， 8分
因为，
所以 9分
所以 10分
设每台发动机获得的奖励为（万元），则的分布列为：
所以每台发动机获得奖励的数学期望为（万元） 12分
（21）解：（1）解：，
当时，，单调递增，当时，，，单调递减，故单调递增区间为，单调递减区间为 ……3分
（2）法一：由得，即
令，则………5分
，，在单调递增，
又，，
所以有唯一的零点， …………7分
且当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以， …………9分
又因为所以 …………11分
所以，的取值范围是 …………12分
法二：由得，即…5分
令，因为，，
所以存在零点； …………7分
令，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以， …………10分
所以，所以的取值范围是 ……12分
（22）解：（1）∵， ∴直线的极坐标方程是 ……2分
曲线的普通方程为，即 ……3分
所以曲线的极坐标方程为． …………4分
（2）将分别代入，得：
， …………6分
∴ ∴ …………7分
∵，∴ …………8分
∴，， …………9分
所以 …………10分
（23）解：（1）不等式，即.
可得，或或 …………3分
解得，所以不等式的解集为. …………5分
（2）当时，，所以， …………6分
由得，即， …………8分
则，该不等式无解，所以实数的取值范围是空集（或者） …………10分