高二数学人教a版选修4-5学业分层测评12word版含答案 6页

学业分层测评（十二） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．设 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1(n∈N＋)，则 f(n＋1)－f(n)等于( ) A. 1 3n＋2 B. 1 3n ＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 【解析】 因为 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ，所以 f(n＋1)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1 ＋ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 ，所以 f(n＋1)－f(n)＝ 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2.故选 D. 【答案】 D 2．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n－3)条时，第一步检验 第一个值 n0 等于( ) A．1 B．2 C．3 D.0 【解析】 边数最少的凸 n 边形是三角形． 【答案】 C 3．已知 a1＝1 2 ，an＋1＝ 3an an＋3 ，猜想 an 等于( ) 【导学号：32750066】 A. 3 n＋2 B. 3 n＋3 C. 3 n＋4 D. 3 n＋5 【解析】 a2＝ 3a1 a1＋3 ＝3 7 ， a3＝ 3a2 a2＋3 ＝3 8 ， a4＝ 3a3 a3＋3 ＝1 3 ＝3 9 ， 猜想 an＝ 3 n＋5. 【答案】 D 4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k 到 k＋1”左边需增乘的代数式是( ) A．2k＋1 B.2k＋1 k＋1 C．2(2k＋1) D.2k＋2 k＋1 【解析】 当 n＝k＋1 时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋ 1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·2k＋12k＋2 k＋1 ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)． 【答案】 C 5．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的内角和 f(k＋1)等于 f(k)加 上( ) A.π 2 B．π C．2π D.3 2π 【解析】 从 n＝k 到 n＝k＋1 时， 内角和增加π. 【答案】 B 二、填空题 6．观察式子 1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第 n 个式 子应为________． 【答案】 1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2 ＝(－1)n＋1·nn＋1 2 7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第 二步假设 n＝k 时等式成立，则当 n＝k＋1 时应得到________． 【解析】 ∵n＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1 时为使用归纳假设， 应写成 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1. 【答案】 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．用数学归纳法证明 34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被 14 整除，当 n＝k＋1 时，对 于 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1 应变形为________． 【解析】 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋ 1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1. 【答案】 81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1 三、解答题 9．用数学归纳法证明： 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－1 n2 ＝n＋1 2n (n≥2，n∈N＋)． 【证明】 (1)当 n＝2 时，左边＝1－1 4 ＝3 4 ，右边＝2＋1 2×2 ＝3 4. ∴等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立， 即 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－1 k2 ＝k＋1 2k (k≥2，k∈N＋)． 当 n＝k＋1 时， 1－1 4 1－1 9 1－ 1 16 … 1－1 k2 1－ 1 k＋12 ＝k＋1 2k ·k＋12－1 k＋12 ＝k＋1k·k＋2 2k·k＋12 ＝ k＋2 2k＋1 ＝k＋1＋1 2k＋1 ， ∴当 n＝k＋1 时，等式成立． 根据(1)和(2)知，对 n≥2，n∈N＋时，等式成立． 10．用数学归纳法证明：对于任意正整数 n，整式 an－bn 都能被 a－b 整除． 【证明】 (1)当 n＝1 时，an－bn＝a－b 能被 a－b 整除． (2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk 能被 a－b 整除，那么当 n＝k＋1 时， ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和 ak－bk 都能 被 a－b 整除，所以上面的和 ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被 a－b 整除．这也就是说 当 n＝k＋1 时，ak＋1－bk＋1 能被 a－b 整除． 根据(1)(2)可知对一切正整数 n，an－bn 都能被 a－b 整除． [能力提升] 1．设 f(n)＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n(n∈N＋)，那么 f(n＋1)－f(n)等于 ( ) 【导学号：32750067】 A. 1 2n＋1 B. 1 2n＋2 C. 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 D. 1 2n＋1 － 1 2n＋2 【解析】 因为 f(n)＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n ， 所以 f(n＋1)＝ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋…＋ 1 2n ＋ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 ， 所以 f(n＋1)－f(n)＝ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 － 1 n＋1 ＝ 1 2n＋1 － 1 2n＋2. 【答案】 D 2．某同学回答“用数学归纳法证明 n2＋n＜n＋1(n∈N＋)的过程如下： 证明：(1)当 n＝1 时，显然命题是正确的： (2)假设 n＝k 时有 kk＋1＜k＋1，那么当 n＝k＋1 时， k＋12＋k＋1＝ k2＋3k＋2＜ k2＋4k＋4＝(k＋1)＋1，所以当 n＝k＋1 时命题是正确的．由(1)(2) 可知对于 n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( ) A．从 k 到 k＋1 的推理过程没有使用归纳假设 B．归纳假设的写法不正确 C．从 k 到 k＋1 的推理不严密 D．当 n＝1 时，验证过程不具体 【解析】 证明 k＋12＋k＋1＜(k＋1)＋1 时进行了一般意义的放大．而 没有使用归纳假设 kk＋1＜k＋1. 【答案】 A 3．用数学归纳法证明 22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋1 6 －1(n∈N＋，且 n＞1) 时，第一步应验证 n＝________，当 n＝k＋1 时，左边的式子为________． 【解析】 ∵所证明的等式为 22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋1 6 －1(n∈N＋，n＞1)． 又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)， ∴n 应为 2. 又∵当 n＝k＋1 时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的 n 换成 k ＋1， 即 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2. 【答案】 2 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 4．是否存在常数 a，b，c 使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋ bn2＋c 对一切正整数 n 成立？证明你的结论． 【解】 存在．分别用 n＝1,2,3 代入，解方程组 a＋b＋c＝0， 16a＋4b＋c＝3， 81a＋9b＋c＝18， 得 a＝1 4 ， b＝－1 4 ， c＝0， 故原等式右边＝n4 4 －n2 4 . 下面用数学归纳法证明． (1)当 n＝1 时，由上式可知等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2 －k2)＝1 4k4－1 4k2. 则当 n＝k＋1 时， 左边＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－ (k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1) ＝1 4k4－1 4k2＋(2k＋1)·kk＋1 2 ＝1 4(k＋1)4－1 4(k＋1)2，故 n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)得等式对一切 n∈N＋均成立．