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- 2021-04-28 发布
2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题）
1. 方程
A. 可以表示任何直线 B. 不能表示过原点的直线
C. 不能表示与y轴垂直的直线 D. 不能表示与x轴垂直的直线
2. 设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，
A. 若m，n是异面直线，则与相交
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
3. 过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是
A. B. 或
C. D. 或
4. 给出三个命题：线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行．正确的是
A. B. C. D.
5. 某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形，如图2所示．其中，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
6. 如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，，则下列结论正确的是
A.
B. 平面平面PBC
C. 直线平面PAE
D. 直线PD与平面ABC所成的角为
7. 已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的体积为
A. B. C. D.
8. 点在直线上，则的最小值是
A. 8 B. C. D. 16
9. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1. 已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是
A. 2 B. 4 C. D. 2或
2. 如图，正四面体的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是
A. 是正三棱锥
B. 直线OB与平面ACD相交
C. 直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为
D. 异面直线AB和CD所成角是
3. 如图，正方体的棱长为a，作平面与底面不平行与棱，，，分别交于E，F，G，H，记EA，FB，GC，HD分别为，，，，若，，则多面体EFGHABCD的体积为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
4. 在正三棱锥中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：；平面PDE； 平面其中正确的个数是______．
5. 若直线在y轴上的截距等于1，则实数m的值为______．
6. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为______．
7. 表面积为的球面上有四点S、A、B、C，且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为1，若平面平面ABC，则三棱锥体积的最大值为______．
三、解答题（本大题共5小题）
1. 已知两直线：，：求分别满足下列条件的a，b的值．
直线过点，并且直线与垂直；
直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．
2. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且，．
求证：平面平面PAC；
当三棱锥的体积等于时，求PB的长．
3. 已知直线l：．
若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
4.
如图．在直棱柱中，，，，D是BC的中点，点E在棱上运动．
证明：；
当异面直线AC， 所成的角为时，求三棱锥的体积．
1. 如图所示的几何体ABCDE中，平面EAB，，，，M是EC的中点．
求异面直线DM与BE所成角的大小；
求二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：方程是直线的点斜式方程，
当直线垂直x轴时，斜率不存在，不能用点斜式表示．
故选：D．
由斜率不存在的直线没有点斜式方程得答案．
本题考查直线的点斜式方程，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，，知：
在A中，若m，n是异面直线，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，则与相交或平行，故B错误；
在C中，若，则与相交或平行，故C错误；
在D中，若，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：D．
在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
3.【答案】B
【解析】解：当直线过原点时，再由直线过点，可得直线的斜率为，
故直线的方程为，即．
当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为，
把点代入可得，解得．
故直线的方程为，即．
故选B．
当直线过原点时，由斜截式求出直线的方程，当当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入解得k值，即可得到直线的方程，由此得出结论．
本题主要考查用截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：错误．如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交．
正确．如图，平面，，，，且E、F分别为AB、CD的中点，
过C作交平面于G，连接BG、GD．
设H是CG的中点，则，．
平面，平面．
平面平面平面．
，．
不正确．如图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作，，则、确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的．与平面EFH平行的平面与异面直线不重合的平面与两条异面直线都平行．
故选：D．
通过举反例可得错误．利用面面平行的性质定理与线面平行的判定定理可确定正确．设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作，，则、确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的．
本题考查了线线，线面，面面平行关系的判定与性质，注意这三种平行关系的相互转化，是个中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是半个圆柱，
所以几何体的表面积为：．
故选：A．
由题意判断几何体的形状，画出直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积．
本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
6.【答案】D
【解析】解：与PB在平面的射影AB不垂直，
所以A不成立，又，平面平面PAE，
所以平面平面PBC也不成立；，平面PAD，
直线平面PAE也不成立．
在中，，，
故选D．
利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．
本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．
7.【答案】A
【解析】解：如图，，，，
，
，
，
的中点O为外接球球心，
故半径为1，
体积为，
故选：A．
利用所给条件容易得到三角形ABD，CBD为直角三角形，故BD中点为外接球球心，得解．
此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，点在直线上，
则有，即，
则，
分析可得：当时，取得最小值8，
故选：A．
根据题意，由点在直线上，分析可得，即，将其代入中，计算可得，由二次函数的性质分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质，关键是分析得到x、y的关系．
9.【答案】C
【解析】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：底面ABCD，
，，
，，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：，，
．
故选：C．
画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．
10.【答案】A
【解析】解：因为，
所以，解得．
所以直线方程为它与坐标轴的交点为与．
直线与坐标轴围成的三角形面积是．
故选A．
利用，求出m值，然后求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．
本题考查直线的平行关系的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
11.【答案】C
【解析】解：对于A，如图ABCD为正四面体，为等边三角形，
又、OB、OC两两垂直，面OBC，．
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知，为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
为底面中心，是正三棱锥，
故A正确；
对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，
显然OB与平面ACD不平行．则B正确；
对于C，CD在平面ABC上的射影为，
直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为，故C错误；
对于D，AB和OE垂直，且OE平行于CD，
则异面直线AB和CD所成的角为，
故D正确．
故选：C
．
结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．
本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面成的角、异面直线所成角的定义和求法，结合图形分析答案，增强直观性，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得：
，，
四边形EFGH是平行四边形，
连结AC，BD交于点O，连结EG，FH，交于点，
连结，则，
，，
，，，
两个多面体EFGHABCD可以拼成都市个长方体，
多面体EFGHABCD的体积为：
．
故选：C．
由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得四边形EFGH是平行四边形，连结AC，BD交于点O，连结EG，FH，交于点，连结，则，由两个多面体EFGHABCD可以拼成都市个长方体，能求了多面体EFGHABCD的体积．
本题考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
13.【答案】2
【解析】解：根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确；
，面PDE，面PDE，
平面PDE，故正确；
若平面PDE，则，因为，AC与AB不垂直，如图，显然不正确．
故答案为：2．
利用直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，直线的平行等判断．
主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定考查的知识点比较多，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由题意可知直线过，
代入可得，变形可得，
解得，或
当时，，不满足题意，
故答案为：3
由题意可知直线过，代入可得可得m的方程，解方程注意验证即可．
本题考查直线的截距，划归为直线过并注意验证是解决问题的关键，属基础题．
15.【答案】6：：4
【解析】解：设球的半径为R，则圆柱的表面积为，
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以表面积之比为6：：4．
故答案为：6：：4．
由表面积公式分别求得表面积．
本题考查表面积公式，属于简单题．
16.【答案】
【解析】解：过球心O作平面ABC的垂线段OD，垂足为D，过D作，垂足为E，
连接BD，则，，如图所示；
则球的表面积为，解得半径；
又，；
又是等边三角形，是的中心，
，；
；
由球的对称性可知当S在AB的中垂线上时，S到平面ABC的距离最大，
过O作平面SAB的垂线段SH，垂足为H，
平面平面ABC，，平面平面，平面ABC，
平面SAB；又平面SAB，
，
四边形ODEH是矩形，
，，
，
，
；
则三棱锥面积的最大值为：
．
故答案为：．
由球的表面积求出半径OB，再计算的面积为定值，由此得出S在AB的中垂线上且位于球心同侧时，棱锥体积的最大，结合图形求出点S到平面ABC的距离，由此求得棱锥体积的最大值．
本题考查了球内接几何体的体积计算问题，寻找图中的数量关系是解题的关键，是中档题．
17.【答案】解：，
，即
又点在上，
由得，．
，，，
故和的方程可分别表示为：
，，
又原点到与的距离相等．
，或，
，或，．
【解析】利用直线过点，直线与垂直，斜率之积为，得到两个关系式，求出a，b的值．
类似直线与直线平行，斜率相等，坐标原点到，的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．
本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．
18.【答案】证明：平面ABCD，平面ABCD
，
，底面ABCD是菱形，，
面PAC，面PAC，，平面PAC，
平面PBD，平面平面PAC．
因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，所以，
从而又，，所以，
四棱锥的高为PA，，得，
面ABCD，平面ABCD，．
在中，．
【解析】先证明平面PAC，即可证明平面平面PAC；
利用求出四棱锥的高为PA，利用，即可求PB的长．
本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
19.【答案】解：直线l的方程可化为：，则直线l在y轴上的截距为，
要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：分
依题意，直线l在x轴上的截距为：，在y轴上的截距为，
，，又且，
，故，当且仅当，即时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为分
【解析】可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意，从而可解得k的取值范围；
依题意可求得，，，利用基本不等式即可求得答案．
本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，考查基本不等式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：直棱柱中，平面ABC，平面ABC，
中，，D为BC中点，
又、平面，
平面，结合平面，可得；
直棱柱中，，
或其补角即为异面直线AC、 所成的角
，，
又平面，可得，
结合，可得平面，
平面，
因此，中，，可得，得
又，
由此可得
【解析】根据直三棱柱的性质，得，等腰中利用“三线合一”证出，结合线面垂直判定定理，得平面，从而可得；
根据，得到或其补角即为异面直线AC、 所成的角．由且，证出平面，从而在中得到，利用余弦的定义算出，进而得到面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥的体积．
本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
21.【答案】解：平面EAB
，
平面平面EAB，
又，且平面平面，
平面ABCD，
直线AE、AB、AD两两垂直，
以点A为原点，AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，
0，，4，，4，，0，，0，，
是EC的中点，
2，，
，，
，
异面直线DM与BE所成角的大小为；
设二面角的大小为，
，，，
平面BDM的一个法向量，平面BDA的一个法向量
，
由图可知，为锐角，
二面角的余弦值为．
【解析】由题意，先证明直线AE、AB、AD两两垂直，再以点A为原点，AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
求出向量，然后求出异面直线DM与BE所成的角；
求出平面BDM和平面BDA的法向量，再求二面角的余弦值．
本题主要考查空间角的大小，主要应用空间向量求解，属于中档题．