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- 2021-04-28 发布
章丘四中·第五次网上教学质量评估
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（ ）
A．5 B． C． D．100
6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）
A． B． C． D．
7．在四面体ABCD中，，，，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高
B．随机变量，若，则
C．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
D．回归方程为中，变量y与x具有正的线性相关关系，变量x增加1个单位时，y平均增加0.85个单位
10．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．直线BC与平面所成的角等于
B．点C到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球表面积为
11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人．
附表：
0.050
0.010
3.841
6.635
附：
A．25 B．45 C．60 D．75
12．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数，则的值为__________．
14．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布，已知成绩在80到90分之间的学生有120名，若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上（含90分）的学生，估计获奖的学生有_______人（填一个整数）（参考数据：若，则，，．）
15．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_______种．（用数字作答）
16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为_______
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
正四棱柱，中，，E为中点，F为AD中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线AC与平面所成的角为，求的长．
18．（本小题满分12分）
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
根据以上数据，绘制了散点图．
参考数据：（其中）
183.4
0.34
0.115
1.53
360
22385.8
参考公式：对于一组数据，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
（1）观察散点图判断，与哪一个适宜作为非原料成本y与生产该产品的数量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程．
（3）试预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及函数在上的最大值和最小值；
（2）若时，函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
20．（本题满分12分）
在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）求二面角F-AE-P的余弦值．
21．（本题满分12分）
中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15-65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄
支持“延迟退休”的人数
15
5
15
28
17
（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
45岁以下
45岁以上
总计
支持
不支持
总计
参考数据：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
，其中．
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动、现从这8人中随机抽2人．记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
22．（本题满分12分）
已知
（1）讨论f（x）的单调性：
（2）若f（x）存在两个极值点，，证明：．
数学标准答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
A
C
B
D
B
BD
ABD
BC
ACD
二、填空题：
13．24 14．20 15．540 16．
三、解答题：
17．解析（1）法1：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系
设，
则，，，，
，，
故，，，
设平面的法向量
，不妨取，
得平面的一个法向量
，
又平面，所以平面．
法2：连接交于O，则O为中点．连接EO，OF．
因为正四棱柱，
所以，且
又因为E为中点，
∴，且．
中，O，F为中点，
∴，且
∴，且．
∴，∴
又平面，平面，
所以平面．
（2），则．
直线AC与平面AED，所成的角为，
即
解得，即的长为．
18．（1）适宜．
（2），则
．
（3）当（千件）时，
所以预测生产该产品10000件时每件产品的非原料成本为21元．
19．（1）与直线垂直的直线斜率为2，
令，∴
令，∴，
所以的单减区间为，增区间为
因为在上减，在上增，
所以函数在上的最大值为，
最小值为
（2）若时，
若函数在区间上是减函数，
则在区间上恒成立
即，恒成立．
设
∴在区间上恒成立．
所以在上单调递增，
所以．
20．（1）证明因为平面ABCD，平面ABCD，
所以．
又因为，，平面PAD，
所以平面PAD．
又平面PCD，所以平面平面PAD．
（2）过点A作AD的垂线交BC于点M．
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
因为E为PD的中点，所以．
所以，，
所以，
所以．
设平面AEF的法向量为，则
令，则，．
于是．
又因为平面PAD的一个法向量为，
所以．
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．
21．（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：
45岁以下
45岁以上
总计
支持
35
45
80
不支持
15
5
20
总计
50
50
100
因为的观测值
，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．
（2）从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．所以X 的可能取值为0，1，2．
，，；
故随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
所以．
22．（1）的定义域为，
对于一元二次方程，
①若，即时，
则恒成立，所以在单调递减．
②若，即或时，
令得，或
（i）当时，当时，；
当时，
所以在单调递减，
在单调递增．
（ⅱ）当时，的两根均小于0，
在单调递减．
综上：当时，在单调递减．
当时，在单调递减，
在单调递增．
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当．
由于的两个极值点，满足，
所以，不妨设，则．
由于
所以等价于．
设函数，
由（1）知，在单调递减，
又，从而当时，．
所以，即．