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- 2021-04-28 发布
高考总复习：随机事件及其概率
【考纲要求】
1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；
2、了解两个互斥事件的概率加法公式。
【知识网络】
概率
随机事件的概率
等可能事件的概率
互斥事件的概率
应用
【考点梳理】
知识点一、事件的有关概念
1．事件
在一定条件下出现的某种结果。在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能：
（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；
（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件；
（3）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。
必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母A、B、C……表示。
2. 基本事件
一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n个，那么这个试验由n个基本事件组成。
3．基本事件的特点
（1）不能或不必分解为更小的随机事件；
（2）不同的基本事件不可能同时发生；
（3）一次试验中的基本事件是彼此互斥的；
（4）试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘.
知识点二、频率与概率
1.频数与频率
在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率。
2.概率
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，则这个常数就叫事件A的概率，记作。
概率的基本性质
①任何事件的概率的取值范围：；
②P（必然事件）＝1，P（不可能事件）＝0。
3.频率与概率的区别与联系
①频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；
②随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率。
③概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
4．概率和频率
（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；
（2）在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率；
（3）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频繁随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率来估计概率P（A）。
要点诠释：
1、频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率。
2、求概率的方法:
(1)等可能性事件的概率,步骤:
①明确事件A的意义,确定是否等可能性事件.
②求出一次实验可能出现的结果的总数n;
求m,n时,要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n和分子m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理)。
③用等可能性事件概率公式P=求出概率值.
知识点三、互斥事件有一个发生的概率
1. 互斥事件的概念
不可能同时发生的事件叫做互斥事件一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥
2．互斥事件有一个发生的概率
对于事件A和事件B，用A+B表示事件A、B中有一个发生。
如果A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，则：
。
一般地，如果彼此互斥，则：
。
3．对立事件的概念
其中必有一个发生的两个互斥事件，叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作。
4．对立事件的概率
如果A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生，则：
。
一般地，，。
要点诠释：当计算事件A的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些。涉及“至少一个”多转化为求对立事件的概率。
5．对立事件与互斥事件的区别和联系：
①互斥事件研究的是两个事件之间的关系，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看，A、B
两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。
②对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集。
③对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
【典型例题】
类型一、概率的相关概念
【例1】下面事件：
①实数的绝对值大于0；
②从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；
③在标准大气压下，水在100°C沸腾；
④掷一枚硬币，出现反面；
⑤异性电荷相互吸引；
⑥3+5＞10；
随机事件有 ；必然事件 ；不可能事件： .
【思路点拨】通过本例，要加深对必然事件，不可能事件，随机事件的理解.
【解析】随机事件：①、②、④；
不可能事件：⑥；
必然事件：③、⑤.
【例2】一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：
（1）“取出的球是红球”是什么事件？
（2）“取出的球是黑球”是什么事件？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？
【思路点拨】结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。
【解析】（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；
（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；
（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，
“取出的球是白球或黑球”是必然事件。
【点评】对随机事件的理解应包含下面两个方面：
（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；
（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。
【例3】已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件
其中正确的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【思路点拨】本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.
【解析】答案：C
①③④正确，②错误.
【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。
举一反三：
【变式】事件“时，”是（ ）
A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.以上均不正确
【答案】A
类型二、随机事件的频率与概率
1．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；
2．概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。
【例4】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
【思路点拨】解答本题可根据频率的计算公式，其中为相同条件下重复的试验次数，为事件A出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率。
【解析】（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为
（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概率约为。
【例5】在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式
作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．
(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；
(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．
【思路点拨】采用列举法列举出基本事件个数，再利用概率公式加以求解。
【解析】设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.
从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种．
(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝.
(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，
故P(B)＝1－(＋)＝.
【总结升华】
将分类讨论的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，作到不重不漏．
举一反三：
【变式】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别0.4,0.5,0.1.
(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
【解析】法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)．
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)，由事件的独立性得
P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
法二：(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．
∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
(2)同法一．
类型三、互斥事件、对立事件的概率
例6（2018 宝鸡三模）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概 率
（2）购买基金：
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概 率
p
q
（Ⅰ）当时，求q的值；
（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；
（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
【解析】（Ⅰ）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以p++q=1．…（2分）
又因为，
所以q=．
（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则，且A，B独立．
由上表可知，，P（B）=p．
所以
==．
因为，
所以．
又因为，q≥0，
所以．
所以．
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），
所以随机变量X的分布列为：
X
4
0
﹣2
P
…（9分）
则．
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量Y的分布列为：
Y
2
0
﹣1
P
则．
因为EX＞EY，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.
举一反三：
【变式1】【高清课堂随机事件及其概率例题7】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】C.
【变式2】（2015春 武进区期末）如图，用X、Y、Z这3类不同的元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，已知元件X、Y、Z正常工作的概率依次为0.8、0.7、0.9，则系统N正常工作的概率是 ．
【答案】0.776
【解析】根据题意，记X、Y、Z正常工作分别为事件A、B、C；
则P（A）=0.8；
Y、Z至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）=1﹣0.3×0.1=0.97；
则系统正常工作的概率为0.8×0.97=0.776
【例7】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
【解析】记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，
则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．
∴．
【变式】某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.
【解析】（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.
（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.
【例8】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）
围棋社
戏剧社
书法社
高中
45
30
初中
15
10
20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.
(I) 求这三个社团共有多少人？
(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.
【思路点拨】（I）根据围棋社共有60人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人，得到三个社团的总人数．
（II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，根据概率公式得到结果．
【解析】（I）围棋社共有60人，
由可知三个社团一共有150人.
（II）设初中的两名同学为，高中的3名同学为,
随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:
，共10个基本事件.
设事件表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”，
则事件共有 6个基本事件.
.
故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为.
【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．