【数学】2018届一轮复习人教A版（理）定积分的简单应用学案 6页

2018 年高考数学（理）一轮复习讲义：定积分的简单应用 必考考点 考纲要求 考试题型 高考分值 定积分的 简单应用 1. 会通过定积分求由两条或多条曲线围成的 图形的面积； 2. 能利用定积分解决物理中的变速直线运动 的路程、变力做功问题； 解答题 8 分 【考向预测】 定积分是新课标教材新增加的内容，它不仅为传统高中数学注入了新鲜血液，还给学生 提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识。高考中比较注重考查定积分的几何意义和 物理意义的简单应用，题目属于中档题。 ◆ 定积分在几何中的应用 一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下： （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 【规律总结】 1. 一条曲线 y=f（x）和直线 x=a，x=b（ag（x），曲线 f（x），g（x），直线 x=a，x=b 围成的面积 S= [f（x）－g （x）]dx。 （2）f（x）>0，g（x）<0，面积 S= [f（x）-g（x）]dx= f（x）dx＋ |g（x） ( )db a f x x∫ ( )db a f x x∫ ( )db a f x x∫ ( )db a f x x∫ b a∫ b a∫ b a∫ b a∫ |dx。 ◆ 定积分在物理中的应用 1. 变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v （t）（v（t）≥0）在时间区间[a，b]上的定积分，即 。 （1）当 v（t）≥0 时，求某一时间段内的路程和位移均用 求解； （2）当 v（t）<0 时，求某一时间段内的位移用 求解，这一时间段的路程是 位移的相反数，即路程为 。 2. 变力做功：如果物体在变力 F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F（x）相同 的方向从 x＝a 移动到 x＝b（a4 时，P 点向 x 轴负方向运动。故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程： s1＝ （8t－2t2）dt－ （8t－2t2）dt＝（4t2－ t3） －（4t2－ t3） ＝ 。 当 t＝6 时，点 P 的位移为 （8t－2t2）dt＝（4t2－ t3） ＝0。 （2）依题意知 （8t－2t2）dt＝0，即 4t2－ t3＝0，解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，故 t＝6 是所求的值。 6. 解：依题意知物体 A，B 均做变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求 解。设 a 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，则 A 从开始到 a 秒末所走的路程为 sA＝ vAdt＝ （3t2＋1）dt＝a3＋a； B 从开始到 a 秒末所走的路程为 sB＝ vBdt＝ 10tdt＝5a2。 由题意得 sA＝sB＋5，即 a3＋a＝5a2＋5，得 a＝5。 此时 sA＝53＋5＝130（米），sB＝5×52＝125（米）。 故 5 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离分别是 130 米和 125 米。 答：此时，物体 A、B 运动的路程分别是 130 米和 125 米。 1 0∫ 1 0∫ 2 4 x 2 1∫ 2 1∫ 2 4 x 3 1 03 x 3 12 x 1 0 2 1 3 12 x 2 1 2 3 4 3 25 1 t+ 84 3t = −  舍去 4 0∫ 4 0 257 3 1t t  − + + ∫ ( )2 4 0 37 25 12t t ln t − + +   2 2 2− 4 2 0 4 (cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx π π π− + −∫ ∫ 4 2 0 4 (cos sin ) ( cos sin ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x x π π π= + + − − = + − + − − − − = − ( )3 0 df x x∫ 4 0∫ 6 4∫ 2 3 4 0 2 3 6 4 128 3 6 0∫ 2 3 6 0 0 t∫ 2 3 0 a∫ 0 a∫ 0 a∫ 0 a∫