2020届二轮复习第11讲　圆锥曲线的基本问题课件（27张）（江苏专用） 27页

第 11 讲　圆锥曲线的基本问题 第11讲　圆锥曲线的基本问题 1.已知双曲线   -   =1( a >0)的一条渐近线方程为 y =2 x ,则该双曲线的焦距为 　　　     . 答案 　10 解析 　由双曲线   -   =1( a >0)的一条渐近线方程为 y =2 x ,得   =2,解得 a =   .所以 c =   =5.故该双曲线的焦距2 c =10. 2.(2019金陵中学调研,6)已知抛物线 y 2 =4 x 上的点 P 到原点 O 的距离等于 P 到焦 点 F 的距离,则线段 PF 的长为 　　　     . 答案        解析　 因为抛物线 y 2 =4 x 上的点 P 到原点 O 的距离等于 P 到焦点 F 的距离,所以 点 P 在 OF 的中垂线上,则 P 点的横坐标为   ,根据抛物线定义知| PF |等于 P 点到 准线的距离,所以| PF |=   +1=   . 3.已知椭圆 C :   +   =1的左焦点为 F ,点 M 是椭圆 C 上一点,点 N 是 MF 的中点, O 是椭圆的中心,| ON |=4,则点 M 到椭圆 C 的左准线的距离为 　　　     . 答案        解析 　设右焦点为 F ',则| MF '|=2| ON |=8,| MF |=2 a -| MF '|=10-8=2.设点 M 到左准线 的距离为 d ,则   =   =   , d =   =   . 4.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,9)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是椭圆 C :   +   =1( a >0)上一点, F 为椭圆 C 的右焦点,直线 FP 与圆 O : x 2 + y 2 =1相切于点 Q , 若 Q 恰为线段 FP 的中点,则 a = 　　　     . 答案 　3 解析 　取椭圆的左焦点 F ',连接 PF ', OQ .   因为直线 FP 与圆 O : x 2 + y 2 =1相切于点 Q , Q 为线段 FP 的中点, O 为 F ' F 的中点, 所以 OQ ⊥ PF , PF '=2 OQ =2, PF ⊥ PF ', 由椭圆的定义可得 PF =2 a -2, 在直角三角形 PFF '中, PF 2 + PF ' 2 = F ' F 2 , 即(2 a -2) 2 +2 2 =4 c 2 ,可得4 a 2 -8 a +8=4( a 2 -4), 解得 a =3. 5.(2019苏州中学期初,11)如图,双曲线的中心在坐标原点 O , A , C 分别是双曲线 虚轴的上、下端点, B 是双曲线的左顶点, F 为双曲线的左焦点,直线 AB 与 FC 相 交于点 D ,若双曲线的离心率为2,则∠ BDF 的余弦值是 　　　     . 答案        解析 　∵ e =   =   =2,∴   =   ,∴tan∠ FBD =tan∠ ABO =   ,又tan∠ BFD =   =   , ∴tan∠ BDF =-tan(∠ FBD +∠ BFD )=-   =3   , ∴cos∠ BDF =   . 题型一　圆锥曲线的标准方程 例1 　(1)(2018南京师大附中高三模拟) 已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的一条 渐近线方程是 y =2 x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 =20 x 的焦点相同,则双曲线的方 程是 　　　　　     . (2)(2018泰州中学高三月考)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的离心率为   ,右焦 点为 F 2 ,点 M 在圆 x 2 + y 2 = b 2 上,且在第一象限,过点 M 作圆 x 2 + y 2 = b 2 的切线,交椭圆 于 P , Q 两点.若△ PF 2 Q 的周长为4,则椭圆 C 的方程为 　　　　　　　     . 答案　 (1)   -   =1　(2)   +   =1 解析 　(1)由双曲线   -   =1( a >0, b >0)的一条渐近线方程是 y =2 x ,得   =2.由它 的一个焦点与抛物线 y 2 =20 x 的焦点(5,0)相同,得 c =5.又 b 2 = c 2 - a 2 =4 a 2 ,则 a 2 =5, b 2 = 20.所以双曲线的方程是   -   =1. (2)如图,由椭圆的离心率为   , 得 e =   =   .又 a 2 = b 2 + c 2 ,则 b 2 =   a 2 . 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), x 1 , x 2 >0, 则| PF 2 |= a -   x 1 ,| QF 2 |= a -   x 2 . 同理| PM |=   x 1 ,| QM |=   x 2 , 则△ PF 2 Q 的周长=| PF 2 |+| QF 2 |+| PM |+| QM |=2 a =4. 所以 a =2, b =   .故椭圆 C 的方程为   +   =1. 【方法归纳】　(1)求圆锥曲线标准方程的方法:定义法、待定系数法、几何 性质法;(2)双曲线   -   =1( a >0, b >0)的渐近线方程是 y = ±   x ,双曲线   -   =1 ( a >0, b >0)的渐近线方程是 y = ±   x ;(3)过圆外一点作圆的切线,切线长一般利用 几何法求解,即在直角三角形中利用勾股定理求解;(4)双曲线中基本量 a , b , c 的关系是 a 2 + b 2 = c 2 ,椭圆中则是 a 2 - b 2 = c 2 . 1-1     (2019扬州期中,10)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线   -   =1的一 个焦点为(3,0),则双曲线的渐近线方程为 　　　　　　     . 答案      y = ±   x 解析 　因为焦点(3,0)在 x 轴上,所以 m + m +1=9,所以 m =4,所以双曲线方程为   -   =1,所以渐近线方程为 y = ±   x . 题型二　圆锥曲线的离心率问题 例2 　(1)(2019南京三模,10)在平面直角坐标系 xOy 中,过双曲线   -   =1( a >0, b >0)的右焦点 F 作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点 P .若线段 PF 的 中点恰好在此双曲线上,则此双曲线的离心率为 　　　     . (2)(2019连云港期中,13)已知椭圆 T :   +   =1( a > b >0)的两个顶点 A ( a ,0), B (0, b ), 过点 A , B 分别作与 AB 垂直的直线交椭圆 T 于 D , C 两点,若 BC =3 AD ,则椭圆的离 心率为 　　　     . 答案　 (1)   　(2)   解析 　(1)双曲线的渐近线方程为 y = ±   x ,由对称性,不妨设过 F ( c ,0)的直线为 l : y =   ( x - c ),令   ( x - c )=-   x ,解得 x =   ,代入方程 y =-   x 得点 P   ,求得 PF 的中点 M   ,代入双曲线方程得   -   =1,化简得   =2,即 e =   =   . (2)如图, A ( a ,0), B (0, b ),设 D ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ), ∵ AB ⊥ AD , AB ⊥ BC ,∴ AD ∥ BC , 又∵ BC =3 AD ,∴   =3   ,即( x 2 , y 2 - b )=3( x 1 - a , y 1 ), ∴   即   ∵ C , D 在椭圆上,∴   ②-①得   +   =-8, 即   +   =-8, 即   +   =-8,化简,得 y 1 =   x 1 -3 b , 又 k AB =-   ,所以 k AD =   , 则直线 AD 的方程为 y =   x -   , ∵点 D 在直线 AD 上,∴ y 1 =   x 1 -   , ∴   =   ,即 a 2 =3 b 2 , 故 e =   =   =   =   . 【方法归纳】　(1)求与离心率有关的问题的三种常用方法: 直接法:利用公式直接求解,对于椭圆的三个基本量 a , b , c ,它们之间具有关系 a 2 = b 2 + c 2 ;双曲线的三个基本量 a , b , c ,它们之间具有关系 a 2 + b 2 = c 2 ,知二求一,可求 得离心率.此种方法适用于已知椭圆、双曲线方程或相关性质的离心率的求 解. 构造法:将已知的椭圆、双曲线的几何关系转化为关于基本量 a , b , c 的方程或 不等式,利用 a , b , c 的关系和 e =   构造出关于 e 的方程或不等式,通过解方程或 不等式求得离心率的值或取值范围. 数形结合法:利用椭圆、双曲线的性质与图形的直观性,发现图形中的相关几 何关系,建立关于基本量 a , b , c 的等量关系或不等关系,求解离心率的值或范 围. (2)椭圆上一点 P 到焦点 F 的距离是椭圆的焦半径,| PF |∈[ a - c , a + c ]. (3)双曲线的焦点到渐近线的距离为 b ( b 为短半轴长). (4)经过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦是抛物线的通径,长度是2 p ,经过 椭圆的焦点且与长轴垂直的弦是椭圆的通径,长度是   ,经过双曲线的焦点 且与实轴垂直的弦是双曲线的通径,长度是   . 2-1     (2019淮安五校联考,12)如图,已知椭圆   +   =1( a > b >0)的左、右准线 分别为 l 1 , l 2 ,且分别交 x 轴于 C , D 两点,从 l 1 上一点 A 发出一条光线经过椭圆的左 焦点 F 被 x 轴反射后与 l 2 交于点 B ,若 AF ⊥ BF ,且∠ ABD =75 ° ,则椭圆的离心率等 于 　　　     . 答案        解析 　由题意知∠ AFC =∠ BFD =45 ° ,∠ ABF =30 ° , 则| AC |=| CF |=- c -   =   , ∴| AF |=   ,| BF |=   =   , ∴| BF | 2 =2| DF | 2 =   =   , 整理得 e 4 -4 e 2 +1=0, 解得 e 2 =2-   或 e 2 =2+   (舍去),∴ e =   . 题型三　圆锥曲线与圆的简单综合 例3 　在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的上半支( y ≥ 0)与圆 C :( x - 2) 2 + y 2 =3相交于 A , B 两点,直线 y = x 恰好经过线段 AB 的中点 D ,则 p 的值为 　　       . 答案        解析 　设 A ( x 1 ,   ), B ( x 2 ,   ).联立抛物线与圆的方程,得   消 去 y ,得 x 2 +(2 p -4) x +1=0, 则 x 1 + x 2 =4-2 p , x 1 x 2 =1.又直线 y = x 恰好经过线段 AB 的中点, 则 AB 的中点 D 的坐标为(2- p ,2- p ).又圆心 C (2,0), 则直线 CD 的斜率 k CD =   . 因为(   +   ) 2 = x 1 + x 2 +2   =4-2 p +2=6-2 p , 所以   +   =   , 直线 AB 的斜率 k AB =   =   =   =   .由垂径定理,可得 CD ⊥ AB ,则 k CD k AB =   ·   =   =-1,0< p <2,化简,得2 p 2 -7 p +4=0.解得 p =       >2,故舍去   . 【方法归纳】　直线与圆的位置关系一般利用几何法,即比较圆心到直线的 距离 d 与圆的半径 r 的大小,若 d = r ,则直线与圆相切,反之也成立.同时要注意圆 的几何性质在解题中的应用,如垂径定理等. 3-1     (2018盐城中学高三数学阶段性检测)若双曲线   -   =1( a >0, b >0)的离 心率为3,其渐近线与圆 x 2 + y 2 -6 y + m =0相切,则 m 的值是 　　　     . 答案 　8 解析 　由双曲线的离心率为3,得 c =3 a , 所以   =   =2   , 则双曲线的渐近线方程是 y = ± 2   x . 又渐近线 y = ± 2   x 与圆 x 2 + y 2 -6 y + m =0相切, 且圆心(0,3)到渐近线的距离 d =   =1, 则半径   =1, m =8.