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- 2021-04-28 发布
课时作业(四十) [第40讲 空间几何体的表面积和体积]
[时间：45分钟 分值：100分]
1．有一个几何体的三视图及其尺寸如图K40－1(单位： cm)，则该几何体的表面积为( )
A．12π cm2 B．15π cm2
C．24π cm2 D．36π cm2
图K40－1
图K40－2
2． 图K40－2是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则图中正视图所标a＝( )
A．1 B. C. D．2
3．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为( )
A．8π B．4π C. D.π
4．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm和6 cm，侧棱长为5 cm，则它的侧面积为________．
5． 图K40－3是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π C．18π D．24π
图K40－3
图K40－4
6． 已知某个几何体的三视图如图K40－4(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )
A．288＋36π B．60π
C．288＋72π D．288＋18π
7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96 B．16
C．24 D．48
8．如图K40－5，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5 C．6 D.
图K40－5
图K40－6
9．如图K40－6，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P－ABC，则此正三棱锥的侧面积是( )
A．3 B．5
C．3 D．4
10． 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图K40－7所示，则其表面积等于________．
图K40－7
图K40－8
11． 一个几何体的三视图如图K40－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
图K40－9
12．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，则四面体P－CDQ的体积是________．
13．圆锥的底面半径为，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为________．
14．(10分)已知某几何体的俯视图是如图K40－10所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
图K40－10
15．(13分)圆锥底面半径为5 cm，高为12 cm，有一个内接圆柱，其上底圆周在圆锥的侧面上，下底在圆锥底面内，求内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积为最大？最大值是多少？
图K40－11
16．(12分)如图K40－12所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.
(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC；
(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．
图K40－12
课时作业(四十)
【基础热身】
1．C [解析] 该几何体是底面半径等于3，母线长等于5的圆锥，其表面积S表＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)．
2．C [解析] 由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得V＝×2×a×3＝3，
∴a＝.
3．A [解析] 如图，设截面的半径为r，则πr2＝π，r＝1，又已知球心与截面的距离d＝1，则球的半径R＝＝，球的表面积V＝4πR2＝8π.
4．50 cm2 [解析] 侧面高为＝2，所以侧面积为S＝5×＝50(cm2)．
【能力提升】
5．B [解析] 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为1，下底半径为2，母线长为4，所以该几何体的侧面积为π×(1＋2)×4＝12π.故选B.
6．A [解析] 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8.
因此该几何体的体积V＝8×6×6＋×π×32×8＝288＋36π.
7．D [解析] 由πR3＝π，∴R＝2，∴正三棱柱的高h＝4，设其底面边长为a，则×a＝2，∴a＝4，
∴V＝×(4)2×4＝48.
8．D [解析] 如图所示，连接EB，EC，AC.
四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×32×2＝6.
由于AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.
∴VF－BEC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC＝，
∴VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VF－BEC＝6＋＝.
9．C [解答] 设球心为O，连接PO、AO、BO.
因为P－ABC是正三棱锥，所以PO⊥底面ABC，且PO＝AO＝2，所以PA＝2.作PD⊥AB于D，则D为AB的中点．连接OD.
△AOB中，∠AOB＝120°，AO＝BO＝2，
所以AB＝2，DO＝1.
在Rt△POD中，得PD＝，
所以棱锥的侧面积为3×·AB·PD＝×2×＝3.故选C.
10．6＋2 [解析] 由正视图可知，该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，
其表面积为2××4＋3×2×1＝6＋2.
11．4 [解析] 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V＝2×1×1＋1×1×2＝4.
12.V [解析] 设长方体的长、宽、高分别为
AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.
由题意知PD＝c，S△CDQ＝·CD·AD＝ab，
∴VP－CDQ＝S△CDQ·PD＝×ab×c＝abc＝V.
13．4π [解析] 如图，球心为O，圆锥底面圆心为O1，OO1为球半径，AO1为圆锥底面圆半径，∠O1AO＝30°，OO1＝AO1＝1，所以球的表面积为4π.
14．[解答] 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5，
因此侧面积S＝2＝40＋24.
15．[解答] 作圆锥的轴截面，它也是内接圆柱的轴截面，设内接圆柱的半径为x，内接圆柱的高为h，则有
＝，
∴h＝12－x，
因此内接圆柱的表面积是x的函数，
S圆柱侧＝2πxh＝2πx(0＜x＜5)，S底＝πx2，
∴S圆柱全＝2πx＋2πx2＝2πx＝·≤×62＝π(cm2)．
当且仅当＝12－x，即x＝时，等号成立．
因此，当内接圆柱的底面半径为 cm时，内接圆柱的表面积最大，最大表面积是π cm2.
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：由题设知A、B、C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，
从而PB＝PC，AB＝AC.
取BC的中点D，连接AD、PD，
则AD⊥BC，PD⊥BC，
∴BC⊥面PAD，故PA⊥BC.
(2)由题设有AB＝AC＝P1P2＝13，
PA＝P1A＝BC＝10，
PB＝PC＝P1B＝13，
∴AD＝PD＝＝12.
在等腰三角形DPA中，
底边PA上的高h＝＝，
∴S△DPA＝PA·h＝5.
又BC⊥面PAD，
∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA
＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA
＝BC·S△PDA＝×10×5＝.