云南省云天化中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 10页

云天化中学2019-2020学年下学期4月开学考高一年级数学试题 第I卷 一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.每小题只有一个选项符合题意.）‎ ‎1.设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以由正弦定理可得，‎ ‎，‎ 所以，所以是直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎2.记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．‎ ‎【详解】由题知，，解得，∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．‎ ‎3.在中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在三角形中，利用正弦定理可得结果.‎ ‎【详解】解：中，‎ 可得,‎ 即，即，‎ 解得，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.‎ ‎4.在中，,BC=1,AC=5，则AB=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.‎ 详解：因为 所以，选A.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎5.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．‎ 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C.‎ 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．‎ ‎6.如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，利用余弦定理可求，根据同角的三角函数的基本关系式求出后在中利用正弦定理可求.‎ ‎【详解】设，∴，，，‎ 在中，‎ ‎，因为为三角形内角，‎ ‎∴.‎ 在中，由正弦定理知.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．‎ ‎7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度( )m.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设此山高（m），在中，利用仰角的正切表示出，进而在中利用正弦定理求得．‎ ‎【详解】设此山高（m），则，‎ 在中，，，，，‎ 根据正弦定理得，‎ 解得（m），‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理在实际中的应用，考查识图能力，属于常考题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）‎ ‎8.在等差数列中，若，则=__________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 因为是等差数列，所以，即，所以，故答案为．‎ ‎9.中，，，，则的面积为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，易得的面积为，然后代入相关数据计算可得答案.‎ ‎【详解】在中，，，，‎ 的面积为，‎ 的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理应用，解题关键是熟练掌握三角形面积公式，属于常考题.‎ ‎10.在中，，则的最大值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由余弦定理： ，即： ，‎ 整理可得： ，‎ 解得： ，‎ 当且仅当 时等号成立，‎ 则，即a+c的最大值为.‎ 三、解答题（本大题4小题，第11--12小题每小题12分；第13-14小题，每小题13分，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎11.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得‎3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎12.在中，，‎ 求的值；‎ 若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可．‎ ‎【详解】（1），，‎ 由正弦定理可得.‎ ‎（2）若，则，‎ ‎，‎ ‎，又由可得，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. ‎ 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎13.已知，，分别为三个内角，，的对边，．‎ ‎（）求．‎ ‎（）若，的面积为，求，．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（）由题意利用正弦定理边化角可得，化简可得，则．‎ ‎（）由题意结合三角形面积公式可得，故，结合余弦定理计算可得，则．‎ 试题解析：‎ ‎（）∵在中，，‎ 利用正弦定理可得，‎ 化简可得，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）若，的面积为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 又由余弦定理可得，‎ ‎∴，‎ 故．‎ ‎14.中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1），，‎ ‎∵，，∴．‎ 由正弦定理可知.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴．‎ 设，则，‎ 在△与△中，由余弦定理可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，解得，‎ 即．‎ 考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．‎