2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二上学期12月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由复数的四则运算求出，就能判别相应选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，则复平面内表示的点位于第四象限.选D．‎ ‎【点睛】‎ 复数四则运算，属于简单题.‎ ‎2．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（　　）‎ A．3，11，19，27，35 B．5，15，25，35，46‎ C．2，12，22，32，42 D．4，11，18，25，32‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求得系统抽样的组距，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 系统抽样的组距为，也即是间隔抽取一个，C选项符合题意，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查系统抽样的组距，属于基础题.‎ ‎3．命题：若，则；命题：．则（ ）‎ A．“或”为假 B．“且”为真 C．真假 D．假真 ‎【答案】D ‎【解析】命题：可能为，不为，可知是假命题；命题：，可知是真命题，再结合复合命题的真假性判定方法即可判断.‎ ‎【详解】‎ 命题：可能为，不为，因此是假命题，‎ 命题：，因此是真命题，‎ 所以 “或””为真命题， “且”为假命题.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设事件为取到的两个数之和为偶数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】取到的两个数之和为偶数，分为都是偶数和都是奇数两种情况，相加得到答案.‎ ‎【详解】‎ 事件为取到的两个数之和为偶数 所取两个数都为偶数时： ‎ 所取两个数都为奇数时： ‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算，分为都是偶数和都是奇数两种情况是解题的关键.‎ ‎5．命题“，且”的否定形式是（ ）‎ A．，或 B．，或 C．，且 D．，且 ‎【答案】A ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，准确改写即可.‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，可得命题“，且”的否定形式是“，或”.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题.‎ ‎6．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由题意得，不等式，解得或，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎【考点】充分不必要条件的判定．‎ ‎7．设函数，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对函数求导，再由可求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，解得，故选：D,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，熟练利用导数公式解题是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎8．函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则（ ）‎ A．2 B．4 C．20 D．18‎ ‎【答案】C ‎【解析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间，进而求得答案。‎ ‎【详解】‎ 对函数进行求导得到：，‎ 令，解得：，，‎ 当时，；当时，，‎ 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，‎ 由于，，，‎ 所以最大值，最小值，故，‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的问题，属于基础题。‎ ‎9．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为（ ）‎ A．4 B．5 C．7 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序框图以及已知中输入可得：进入循环的条件为，即，模拟程序的运行结果，即可得到输出的值。‎ ‎【详解】‎ 当时， ‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，退出循环，输出 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了读程序框图，此题是循环结构，属于基础题。‎ ‎10．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．‎ ‎【详解】‎ 当x<0时，f（x）0．排除AC，‎ f′（x），令g(x)‎ g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，‎ 当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0， g(4)=<0，‎ 存在，使得g()=0，‎ 且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，‎ 当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，‎ ‎∴B不正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．‎ ‎11．函数在处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】计算函数在处的切线斜率，根据斜率计算离心率.‎ ‎【详解】‎ 切线与一条渐近线平行 ‎ ‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.‎ ‎12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先令，对求导，根据题中条件，判断函数单调性与奇偶性，作出的图像，结合图像，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 因为当时，，所以，‎ 即在上单调递增；‎ 又为奇函数，所以，因此，‎ 故为偶函数，所以在上单调递减；‎ 因为，所以，故；‎ 作出简图如下：‎ 由图像可得， 的解集为.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．在区间上随机取一个数，则的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出满足不等式的的范围，然后按照几何概型公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以在区间上随机取一个数，则则的概率是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率的计算，关键是明确两个“几何度量”，从而进一步求值.‎ ‎14．_________.‎ ‎【答案】π ‎【解析】【详解】‎ 设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，‎ 由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.‎ ‎∴dx＝×4π＝π，故答案为.‎ ‎15．一动点P在抛物线上运动，则它与定点Q（3,0）的连线中点M的轨迹方程是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设，再利用中点坐标公式可得，再代入到，消即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 因为P在抛物线上运动，则，①‎ 又点P 与定点Q（3,0）的连线中点为M，‎ 则 ，即，②‎ ‎ 将②代入①中消得：，整理得，‎ 即M的轨迹方程是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了曲线与方程，主要考查了利用相关点法求轨迹方程，重点考查了中点坐标公式，属基础题.‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于，所以 （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在中, ,,.‎ 点睛：用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，当时取得极大值，当时取得极小值.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的极小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于，的方程组，解出即可；‎ ‎（2）求出的值，结合函数的单调性求出的极小值，代入计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 当时函数取得极大值7，当时取得极小值，‎ 和是方程的两根，由韦达定理知：‎ ‎，；‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 当时，函数取极大值7，，，‎ ‎，‎ 而函数的极小值点为，故函数的极小值为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数及利用导数求函数的极值，解题的关键是正确理解极值点和极值的含义，属于基础题.‎ ‎18．某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：‎ 若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？‎ ‎（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.‎ ‎（i）共有多少种不同的抽取方法？‎ ‎（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）（ⅰ）12；（ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为 ，因此该校900人中的“读书迷”的人数为人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根据题意可知，符合条件的基本事件为，，，，，于是可以求出概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.‎ 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人. ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为 ‎，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，‎ 则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ 所以共有12种不同的抽取方法． ‎ ‎（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，‎ 则事件A包含，，，，，‎ ‎6个基本事件， ‎ 所以所求概率． ‎ ‎19．“精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，习近平到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导。2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 单价(元/公斤)‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎29‎ 药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；‎ ‎（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由.‎ 附：，.‎ ‎【答案】（1），当时，；（2）应该种植A种药材 ‎【解析】(1)首先计算和,将数据代入公式得到回归方程,再取得到2020年单价.‎ ‎(2)计算B药材的平均产量,得到B药材的总产值,与(1)中A药材作比较,选出高的一个.‎ ‎【详解】‎ 解:(1),‎ ‎,当时，‎ ‎(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005‎ B药材的亩产量的平均值为:‎ 故A药材产值为 B药材产值为 应该种植A种药材 ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程及平均值的计算，意在考察学生的计算能力.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，，，与平面所成角的正切值为.‎ ‎(Ⅰ)证明：平面；‎ ‎(Ⅱ)若是的中点，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】(Ⅰ)先证明为与平面所成的角，于是可得，于是．又由题意得到，故得，再根据线面平行的性质可得所证结论． (Ⅱ) 取的中点，连接，可证得．建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)证明：因为平面，平面，‎ 所以 又,,‎ 所以平面，‎ 所以为与平面所成的角．‎ 在中，，‎ 所以 所以在中，,.‎ 又，‎ 所以在底面中，,‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎(Ⅱ)解：取的中点，连接，则,由(Ⅰ)知，‎ 所以，‎ 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.‎ 则，，， ‎ 所以，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，即，得，‎ 令，则．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，即，得，‎ 令，则．‎ 所以，‎ 由图形可得二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求f(x)的单调区间；‎ ‎（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)．‎ ‎【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】（1）将代入原函数,求函数的定义域,再对函数求导,最后根据单调递增,单调递减可求出的单调区间 ‎（2）从分离出出常数,设新函数,,求出新函数的最小值即可得到的取值范围 ‎【详解】‎ ‎(1),‎ 的定义域为． ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为．‎ ‎(2) ,,‎ 令 ‎,‎ 由 当时,,在[,1]上单调递减 当时,,在[1,e]上单调递增,‎ ‎,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为 所以,所以实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题.‎ ‎22．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析 ‎【解析】（1）由周长可求得，利用离心率求得，从而，从而得到椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程，代入韦达定理整理可得；利用点到直线距离公式表示出所求距离，化简可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由椭圆定义知：的周长为： ‎ 由椭圆离心率： ，‎ 椭圆的方程：‎ ‎（2）由题意，直线斜率存在，直线的方程为： ‎ 设， ‎ 联立方程，消去得：‎ 由已知，且，‎ 由，即得：‎ 即：‎ ‎，整理得：，满足 点到直线的距离：为定值 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中定值问题的求解.解决定值问题的关键是通过已知条件构造等量关系，通过韦达定理的形式得到变量之间的关系，从而对所求值进行化简、消元，从而得到定值.‎