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- 2021-04-28 发布
宁夏大学附中2019-2020学年高二上学期期末考试
数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
双曲线的的渐近线方程.
【详解】a=4,b=3,所以渐近线方程，故选B.
【点睛】考查双曲线的基本性质，渐近线的求法.属于基础题．
2.抛物线的准线方程是，则其标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据准线方程，可知焦点在轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入可得到答案．
【详解】由题意可知，抛物线的焦点在轴的负半轴，
设抛物线标准方程为：，
因为抛物线的准线方程为，
所以，
得，
则抛物线的标准方程为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，属于基础题．
3.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
命题“，”的否定是，
选D.
4.命题：若，则；命题：，则下列命题为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
当时，，即命题为假命题，因为恒成立，即命题为假命题，则、、为假命题，为真命题；故选D.
5.下列命题中，正确是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式性质,结合特殊值,即可判断选项是否正确.
【详解】对于A,因为在分母上,所以,因而.不等式两边同时乘以可得,所以A正确;
对于B,若.当时, 不正确,所以B错误;
对于C,当时满足,,但此时不满足,所以C错误;
对于D, 时满足,,但此时不满足,所以D错误.
综上可知,A为正确选项.
故选:A
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,通过特殊值可快速检验不等式是否成立,属于基础题.
6.等差数列中，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，根据题意建立有关和的方程组，解出这两个量，即可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列项之和的计算，解题的关键就是建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于基础题.
7.正项等比数列中，，，则的值是
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
【答案】C
【解析】
分析：设正项等比数列{an}的公比为q，由a3=2，a4•a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出．
详解：设正项等比数列{an}的公比为q，∵a3=2，a4•a6=64，
∴
解得q2=4，
则=42=16．
故选C．
点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.
8.在中，已知，，，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦定理，先求得.再根据正弦定理即可求解.
【详解】中，已知，，，
由余弦定理，
代入可得，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
9.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A. 8 B. 9 C. -3 D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】焦点在x轴上的椭圆,可得，
椭圆的离心率为,可得： ，解得m=8
故选A
10.设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
解可得，解可得,所以“”是“”的充分不必要条件.故选B.
11.已知，，且，则的最小值是（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件等式，变形后可得，代入中结合基本不等式即可求得的最小值.
【详解】，，且，
则
所以
因为，由基本不等式可得
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】本题考查了根据条件等式求最值的应用，基本不等式求最值的用法，属于基础题.
12.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
设焦点关于渐近线的对称点为，则
，又点在圆上，，故选C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.已知双曲线过点（2,3），渐近线方程为，则该双曲线的标准方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据渐近线方程设双曲线的方程，再代入点坐标得结果.
【详解】因为渐近线方程为，所以设双曲线的方程为，
因为双曲线过点（2,3），所以，
因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据渐近线方程求双曲线的标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点M到y轴的距离.
【详解】抛物线，
所以准线方程为，
根据抛物线定义，点到其焦点的距离为6，则点到其准线距离也为6，
即，可得，
所以点M到y轴的距离为4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了抛物线定义及抛物线方程简单应用，属于基础题.
15.若数列满足，，________.
【答案】40
【解析】
【分析】
根据递推公式，依次代入即可求解.
【详解】数列满足，，
当时，可得，
当时，可得，
当时，可得，
故答案为：.
【点睛】本题考查了递推公式求数列项的方法，属于基础题.
16.已知实数x，y满足不等式组，则的最小值为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据不等式组，画出可行域.将目标函数化为一次函数形式，将直线平移即可确定最小值.
【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：
，化为,
将直线平移后可知，当经过点时直线在轴上截距最小，即取得最小值.
联立可解得，所以，
代入可得，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了线性规划在求最值中的应用，属于基础题.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）求以双曲线右焦点为焦点的抛物线的标准方程；
（2）已知双曲线C的离心率，与椭圆有公共焦点.求双曲线C的标准方程；
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由双曲线方程求得焦点坐标，即可由焦点重合求得抛物线标准方程.
（2）由椭圆方程确定焦点坐标，再由离心率确定的值，即可求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）双曲线，设抛物线标准方程为，
所以，则右焦点为，
即抛物线的焦点为，所以，
解得，
所以抛物线标准方程为.
（2）椭圆，则焦点为，
双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率，
所以双曲中，则，
即
所以双曲线C的标准方程为.
【点睛】本题考查了抛物线标准方程与双曲线标准方程的求法，抛物线与双曲线几何性质的简单应用，属于基础题.
18.已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；
（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，可得，所以，
又由，所以，
所以数列的通项公式为．
（2）由题意知，
则数列的前项和为
．
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19.在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求边．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用余弦定理的变换求出的余弦值．
（2）利用（1）结论首先求出的值，进一步利用平面向量的模的运算求出，再利用三角形的面积公式求出，最后利用余弦定理的应用求出结果．
【详解】解：在中，角，，所对的边分别为，，，且．
则：，
整理得：，
所以：；
（2）由于，，
所以：，
在中，由于：，
则：，
即：．
由于的面积为，
所以：，
解得：，
故：
，
解得：．
【点睛】本题考查的知识要点：平面向量的模的运算的应用，余弦定理和三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
20.设抛物线的焦点为F，准线为，直线l与C交于A，B两点，线段AB中点M的横坐标为2.
（1）求C的方程；
（2）若l经过F，求l的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的准线方程，即可求得抛物线的标准方程.
（2）作垂直准线交于，作垂直准线交于，交轴于，作垂直准线交于.当直线斜率不存在时，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，化简后由韦达定理并结合中点的横坐标，即可确定斜率，进而求得直线方程.
【详解】（1）抛物线的准线为，
则，解得，
所以抛物线.
（2）作垂直准线交于，作垂直准线交于，交轴于，作垂直准线交于，几何关系如下图所示：
因为线段AB中点M的横坐标为2.
则，
由梯形中位线可知
由抛物线定义可知
直线经过F，当斜率不存在时，不合题意，
所以直线斜率一定存在，
抛物线，则焦点.
设直线的方程为，
联立抛物线，化简可得，
则，
解得，
所以直线的方程为.
【点睛】本题考查了抛物线标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系及弦中点坐标用法，属于基础题.
21.已知数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）根据条件式，递推后可得，作差后即可确定数列为等比数列，由等比数列通项公式即可求解.
（2）先求得数列的通项公式，再根据错位相减法即可确定数列的前n项和为.
【详解】（1）数列的前n项和为，且
当时，，解得.
而
两式相减可得，化简可得
即.
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则.
（2）由（1）可得，
则
代入可得，
则
两式相减可得
由等比数列求和公式化简可得
化简可得
【点睛】本题考查了应用求数列通项公式，等比数列通项公式的求法，错位相减法求数列的前n项和应用，属于中档题.
22.设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组
可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或
详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，
又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，
由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．
由已知有y1>y2>0，故．
又因为，而∠OAB=，故．
由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．
易知直线AB的方程为x+y–2=0，
由方程组消去x，可得．
由5y1=9y2，可得5（k+1）=，
两边平方，整理得，
解得，或．
所以，k的值为或
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．