2021届高考数学一轮复习第一章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系课件 42页

第一章 集合与逻辑用语 第 1 讲　集合的含义与基本关系 课标要求 考情风向标 1. 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的 “ 属于”关系 . 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言 ( 列举法或 描述法 ) 描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义 和作用 . 3. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合 的子集 . 4. 在具体情境中，了解全集与空集的含义 . 5. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集 . 6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集 . 7. 能使用 Venn 图表达集合的关系 及运算，体会直观 图示对理解抽象概念的作用 1. 在考查题型上，基本 以选择题或填空题的 形式出现，难度较小， 往往与函数的定义域、 值域、解不等式有联系 . 2. 对于新定义高考题的 准备，也需立足概念和 基本运算，只要掌握了 把不同问题转化为基 础问题的技巧与方法， 就会使看似复杂的问 题变得简单 1. 元素与集合 (1) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 . (2) 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 ∈ 或 表示 . (3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法 . 关系 文字语言 符号语言 图形语言 性质 集 合 间 的 基 本 关 系 相 等 集合 A 与集合 B 中 的所有元素都 相同 A ＝ B — 子 集 集合 A 中任意 一 个元素均为集合 B 中的元素 A ⊆ B 或 B ⊇ A 或 含 n 个元素的集合有 2 n 个子集 2. 集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 图形语言 性质 集 合 间 的 基 本 关 系 真 子 集 集合 A 中任意 一 个元素均为集合 B 中的元素，且 集合 B 中至少有 一个元素不是集 合 A 中的元素 ____ __ __ ____ __ __ 含 n 个元素的集合有 (2 n － 1) 个真子集 空集 ( ∅ ) 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ( 续表 ) A B 或 B A 项目 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 A ∪ B ＝ { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } A ∩ B ＝ { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } ∁ U A ＝ { x | x ∈ U ，且 x A } 3. 集合的基本运算 并集的 性质 A ∪ ∅ ＝ A ； A ∪ A ＝ A ； A ∪ B ＝ B ∪ A ； A ∪ B ＝ A ⇔ B ⊆ A 交集的 性质 A ∩ ∅ ＝ ∅ ； A ∩ A ＝ A ； A ∩ B ＝ B ∩ A ； A ∩ B ＝ A ⇔ A ⊆ B 补集的 性质 A ∪ ( ∁ U A ) ＝ U ； A ∩ ( ∁ U A ) ＝ ∅ ； ∁ U ( ∁ U A ) ＝ A ； ∁ U ( A ∪ B ) ＝ ( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B ) ； ∁ U ( A ∩ B ) ＝ ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ) 4. 集合的运算性质 1.(2018 年新课标Ⅰ ) 已知集合 A ＝{0,2} ， B ＝{ －2 ， － 1,0,1,2} ，则 A ∩ B ＝ ( ) A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{ － 2, － 1,0,1,2} 2.(2017 年新课标Ⅰ ) 已知集合 A ＝ { x | x <2}， B ＝{ x |3－2 x >0}， 则 ( ) A A 3.(2016 年新课标Ⅱ ) 已知集合 A ＝ {1,2,3}， B ＝{ x |( x ＋1)· ( x － 2)<0 ， x ∈ Z } ，则 A ∪ B ＝ ( ) C A.{1} C.{0,1,2,3} B.{1,2} D.{ － 1,0,1,2,3} 4.(2019 年新课标Ⅱ ) 已知集合 A ＝ { x | x >－1}， B ＝{ x | x <2}， 则 A ∩ B ＝ ( ) C A.( － 1 ，＋ ∞ ) C.( － 1,2) B.(－∞，2) D. ∅ 考点 1 集合的含义及表示 考向 1 对描述法表示集合的元素属性的解读 例 1 ： (1) (2015 年新课标Ⅰ ) 已知集合 A ＝{ x | x ＝ 3 n ＋2， n ∈ N } ， B ＝ {6,8,10,12,14} ，则集合 A ∩ B 中的元素个数为 ( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 解析： 由条件知，当 n ＝ 2 时， 3 n ＋ 2 ＝ 8 ；当 n ＝ 4 时， 3 n ＋ 2 ＝ 14. 故 A ∩ B ＝ {8,14}. 故选 D. 答案： D (2) 已知集合 A ＝ { x ∈ N | x 2 － 2 x － 3 ≤ 0} ， B ＝ {1,3} ，定义集 合 A ， B 之间的运算 “ * ” ： A * B ＝ { x | x ＝ x 1 ＋ x 2 ， x 1 ∈ A ， x 2 ∈ B } ， 则 A * B 中的所有元素之和为 ( ) A.15 B.16 C.20 D.21 解析： 由 x 2 － 2 x － 3 ≤ 0 ，得 ( x ＋ 1)( x － 3) ≤ 0 ，又 x ∈ N ，故 合 A ＝ {0,1,2,3}. ∵ A * B ＝ { x | x ＝ x 1 ＋ x 2 ， x 1 ∈ A ， x 2 ∈ B } ，∴ A * B 中的元素有 0＋1＝1，0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)， 2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∴ A * B ＝{1,2,3,4,5,6}.∴ A * B 中的所有元素之和为 21. 答案： D 1 2 3 4 5 1 0 － 1 － 2 － 3 － 4 2 1 0 － 1 － 2 － 3 3 2 1 0 － 1 － 2 4 3 2 1 0 － 1 5 4 3 2 1 0 (3)(2018 年山东枣庄模拟 ) 已知集合 A ＝{ 1,2,3,4,5}， B ＝ {( x ， y )| x ∈ A ， y ∈ A ， x － y ∈ A } ，则 B 中所含元素的个数为 ( ) A.3 B.6 C.8 D.10 ∴ B ＝ {(2,1) ， (3,1) ， (3,2) ， (4,1) ， (4,2) ， (4,3) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4)} ，故选 D. 答案： D 解析： 引申： 若将本例 (3) 中 B 改为 B ＝ {( x ， y )| x ∈ A ， y ∈ A ， xy ∈ A } 结 果如何呢？ 解析： x ＝ 1 时， y ＝ 1,2,3,4,5 ，满足 xy ∈ A ； x ＝ 2 时， y ＝ 1,2 ，满足 xy ∈ A ； x ＝ 3,4,5 时， y ＝ 1 ，满足 xy ∈ A ，故选 D. 【 规律方法 】 (1) 用描述法表示 集合，先要搞清楚集合中代 表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数 集、点集还是其他类型集合 . (2) 集合中元素的三个特征中的互异性对解题的影响较大， 特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合 中的元素是否满足互异性 . 考向 2 元素与集合的关系 例 2 ： (1) (2017 年浙江杭州模拟 ) 设 a ， b ∈ R ， 集合 {1 ， a ＋ A.1 B. － 1 C.2 D. － 2 答案： C (2) (2017 年新课标 Ⅱ) 设集合 A ＝ {1,2,4} ， B ＝ { x | x 2 － 4 x ＋ m ＝ 0}. 若 A ∩ B ＝ {1} ，则 B ＝ ( A.{1 ，－ 3} C.{1,3} ) B.{1,0} D.{1,5} 解析： 由 A ∩ B ＝{1}，得 1∈ B ，即 x ＝1 是方程 x 2 － 4 x ＋ m ＝0 的根.∴1－4＋ m ＝0.解得 m ＝3.则 B ＝{1,3}.故选 C. 答案： C (3) (2018 年新课标 Ⅱ) 已知集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤ 3 ， x ∈ Z ， y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( ) A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个 解析： A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤ 3 ， x ∈ Z ， y ∈ Z } ＝ {(0,0) ， (0,1) ， (0,－1)，(1,0)，(－1,0)，(1,1)，(1,－1)，(－1,1)，(－1,－1)}， 元素的个数为 9. 答案： A 考向 3 集合与集合之间的关系 例 3 ： (1) 已知集合 A ＝ { x | x 2 ＝ 1} ， B ＝ { x | ax ＝ 1} ，若 A ∩ B ＝ B ，则实数 a 的取值集合为 ( ) A.{ － 1,0,1} B.{ － 1,1} C.{ － 1,0} D.{0,1} 答案： A 答案： C (3) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 3 x － 10 ≤ 0} ， B ＝ { x | m ＋ 1 ≤ x ≤ 2 m － 1}，若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围为________. 解析： 若 B ⊆ A ，则①当 B ＝ ∅ 时，有 m ＋ 1>2 m － 1 ，即 m <2 ， 此时满足 B ⊆ A ； 由 ①② 得， m 的取值范围是 ( － ∞ ， 3]. 答案： ( － ∞ ， 3] (4) 已知两个集合 A ， B ，其中 A ＝ { x | x 2 － x － 2 ≤ 0} ， B ＝ { x |2 a < x < a ＋3}，且满足 A ∩ B ＝ ∅ ，则实数 a 的取值范围是 __________________. ∴ a 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 4]∪[1 ，＋ ∞ ). 解析： ∵ A ＝ { x | x 2 － x － 2 ≤ 0} ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 2} ，则 A ∩ B ＝ ∅ 知， 答案： ( － ∞ ， － 4]∪[1 ，＋ ∞ ) 【规律方法】 (1) 含 n 个元素的集合有 2 n 个子集， (2 n － 1) 个真子集； (2) 注意 ∅ 的特殊性 . ∅ 是任何集合的子集 . 当 B ⊆ A 时， 需考虑 B ＝ ∅ 的情形；当 A ∩ B ＝ ∅ 时，也需考虑 B ( 或 A ) ＝ ∅ 的情 形；一般地，当集合 B ≠ ∅ 时，可以利用数轴，既直观又简洁 . 考点 2 集合的基本运算 考向 1 求交集或并集 例 4 ： (1) (2019 年新课标Ⅰ ) 已知集合 M ＝{ x |－4 < x <2}， N ＝ { x | x 2 － x － 6<0} ，则 M ∩ N ＝ ( A.{ x | － 4< x <3} C.{ x | － 2< x <2} ) B.{ x | － 4< x < － 2} D.{ x |2< x <3} 解析： 集合 M ＝ { x | － 4< x <2} ， N ＝ { x | x 2 － x － 6<0} ＝ { x | － 2< x <3} ，则 M ∩ N ＝ { x | － 2< x <2}. 答案： C (2)(2019 年天津 ) 设集合 A ＝{ － 1,1,2,3,5}， B ＝{2,3,4}， C ＝{ x ∈ R |1 ≤ x <3}，则( A ∩ C )∪ B ＝( ) A.{2} C.{ － 1,2,3} B.{2,3} D.{1,2,3,4} 解析： A ∩ C ＝ {1,2} ， ( A ∩ C )∪ B ＝ {1,2,3,4}. 答案： D (3)(2017 年浙江 ) 已知 P ＝ { x | － 1< x <1} ， Q ＝ {0< x <2} ，则 P ∪ Q ＝ ( ) B.(0,1) D.(1,2) A.( － 1,2) C.( － 1,0) 答案： A (4) (2019 年新课标 Ⅱ) 设集合 A ＝ { x | x 2 － 5 x ＋ 6>0} ， B ＝ ) { x | x － 1<0} ，则 A ∩ B ＝ ( A.( － ∞ ， 1) C.( － 3 ，－ 1) B.( － 2,1) D.(3 ，＋ ∞ ) 解析： 集合 A ＝ { x | x 2 － 5 x ＋ 6>0} ＝ { x | x <2 或 x >3} ， B ＝ { x | x <1} ，则 A ∩ B ＝ { x | x <1}. 答案： A 【 方法 与技巧 】 在进行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和 数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用 Venn 图表 示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍 . 对于端点值 的取舍，应单独检验 . 考向 2 交集、并集、补集的混合运算 例 5 ： (1) (2018 年浙江 ) 已知全集 U ＝{1,2, 3,4,5}， A ＝{1,3}， 则 ∁ U A ＝ ( 　　 ) A. ∅ C.{2,4,5} B.{1,3} D.{1,2,3,4,5} 解析： 全集 U ＝ {1,2,3,4,5} ， A ＝ {1,3} ，则 ∁ U A ＝ {2,4,5}. 答案： C (2)(2019 年新课标Ⅰ ) 已知集合 U ＝{1,2,3,4,5,6,7} ， A ＝ {2,3,4,5} ， B ＝ {2,3,6,7} ，则 B ∩ ∁ U A ＝ ( 　　 ) A.{1,6} C.{6,7} B.{1,7} D.{1,6,7} 解析： ∁ U A ＝ {1,6,7} ， B ＝ {2,3,6,7} ，∴ B ∩ ( ∁ U A ) ＝ {6,7}. 答案： C (3) (2017 年新课标 Ⅰ) 已知集合 A ＝ { x | x <1} ， B ＝ { x |3 x <1} ， 则 ( ) A. A ∩ B ＝ { x | x <0} C. A ∪ B ＝ { x | x >1} B. A ∪ B ＝ R D. A ∩ B ＝ ∅ 解析： 由 3 x <1 ，得 3 x <3 0 ，则 x <0 ，即 B ＝ { x | x <0}. ∴ A ∩ B ＝ { x | x <1}∩{ x | x <0} ＝ { x | x <0}， A ∪ B ＝{ x | x <1}∪{ x | x <0}＝ { x | x <1}.故选 A. 答案： A (4)(2018 年鄂东南示范高中联盟 ) 设全集 I 是实数集 R ， M ＝ { x | x ≥ 3} ， N ＝ { x |( x － 3)( x － 1) ≤ 0} 都是 I 的子集 ( 如图 111) ， ) 则阴影部分所表示的集合为( A.{ x |1< x <3} B.{ x |1 ≤ x <3} C.{ x |1< x ≤ 3} D.{ x |1 ≤ x ≤ 3} 图 1-1-1 解析： 阴影部分表示的集合为 N ∩ ( ∁ I M ) ，又 ∁ I M ＝ { x | x <3} ， N ＝ { x |1 ≤ x ≤ 3} ，∴ N ∩ ( ∁ I M ) ＝ { x |1 ≤ x <3}. 故选 B. 答案： B ln (1 － x ) 的定义域为 B ，则 A ∩ B ＝ ( ) A.(1,2) C.( － 2,1) B.(1,2] D.[ － 2,1) 解析： 由 4 － x 2 ≥ 0 ，得－ 2 ≤ x ≤ 2. 由 1 － x >0 ，得 x <1 ，故 A ∩ B ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ∩ { x | x <1} ＝ { x | － 2 ≤ x <1}. 故选 D. 答案： D (6) 设集合 M ＝ { x | x ＜ 2} ， N ＝ { x | x 2 － x ＜ 0} ，则下列关系中 正确的是 ( ) A. M ∪ N ＝ R C. N ∪ ( ∁ R M ) ＝ R B. M ∪ ( ∁ R N ) ＝ R D. M ∩ N ＝ M 解析： N ＝ { x |0 ＜ x ＜ 1} ，∴ M ∪ N ＝ { x | x ＜ 2} ， ∁ R N ＝ { x | x ≤ 0 ， 或 x ≥ 1} ， M ∪ ( ∁ R N ) ＝ R . 故选 B. 答案： B 【 方法与技巧 】 本题主要考查集合的交集、并集、补集运 算，属于容易题，解此类题时一定要看清楚是求 “ ∩” 还是求 “ ∪” ，否则很容易出现错误；注意数形结合思想的应用 . 在进 行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化， 一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示，元素连续时用数轴表 示，同时注意端点的取舍 . 对于端点值的取舍，应单独检验 . 难点突破 ⊙ 集合的新定义问题的理解 例题： (1) 在如图 1-1-2 所示的 Venn 图中， A ， B 是非空集 合，定义集合 A # B 为阴影部分表示的集合 . 若 x ， y ∈ R ， A ＝ { x | y A.{ x |0< x <2} C.{ x |0 ≤ x ≤ 1，或 x ≥ 2} B.{ x |1< x ≤ 2} D.{ x |0 ≤ x ≤ 1，或 x >2} 图 1-1-2 答案： D (2)(2017 年广东深圳二模 )设 X 是平面直 角坐标系中的任意 点集，定义 X * ＝ {(1 － y ， x － 1)|( x ， y ) ∈ X }. 若 X * ＝ X ，则称点集 X “ 关于运算 * 对称 ” . 给定点集 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ＝ 1} ， B ＝ {( x ， y )| y ＝ x －1}， C ＝{( x ， y )|| x －1|＋| y |＝1}，其中“关于运算 * 对 ) 称”的点集个数为 ( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 解析： 将(1－ y ， x －1) 代入 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，整理，得 ( x － 1) 2 ＋ ( y －1) 2 ＝1，显然不行，故集合 A 不满足关于运算*对称；将 (1－ y ， x －1)代入 y ＝ x －1，即 x －1＝1－ y －1，整理，得 x ＋ y ＝1，显然不行，故集合 B 不满足关于运算*对称；将(1－ y ， x －1)代入| x －1|＋| y |＝1，即|1－ y －1|＋| x －1|＝1，化简，得| x － 1|＋| y |＝1.故集合 C 满足关于运算*对称，故只有一个集合满足 关于运算*对称.故选 B. 答案： B 【 规律方法 】 (1) 注意用描述法给出集合的元素 . 如 { y | y ＝ 2 x } ， { x | y ＝ 2 x } ， {( x ， y )| y ＝ 2 x } 表示不同的集合 . (2) 根据图形语言知，定义的 A # B 转化为原有的运算应该是 表示为 ∁ A ∪ B ( A ∩ B ) ，所以需要求出 A ∪ B 和 A ∩ B ，借助数轴求 出并集与交集 . 解题的关键是利用图形语言把新定义的运算转 化为原有 的普通运算，从而解出 . (3) 正确理解新定义 . 耐心阅读，分析含义， 准确提取信息是 解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外衣， 利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集 合，是解决这类问题的突破口 . 【 跟踪训练 】 ( 多选 ) 非空集合 G 关于运算 ⊕ 满足： (1) 对任意 a ， b ∈ G ， 都有 a ⊕ b ∈ G ； (2) 存在 c ∈ G ，使得对一切 a ∈ G ，都有 a ⊕ c ＝ c ⊕ a ＝ a ，则称集合 G 关于运算 ⊕ 为“融洽集” . 现给出下列集 合和运算 . ① G ＝ { 非负整数 } ， ⊕ 为整数的加法； ② G ＝ { 偶数 } ， ⊕ 为整数的乘法； ③ G ＝ { 平面向量 } ， ⊕ 为平面向量的加法； ④ G ＝ { 二次三项式 } ， ⊕ 为多项式的加法 . 其中 G 关于运算 ⊕ 为“融洽集”的是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 解析： 对于①，①中集合 G 显然满足题目中的两个条件， 所以①中 G 为“融洽集”；对于②，②中集合 G 不满足条件(2)， 所以②中 G 不是“融洽集”；对于③，因为向量加向量还是向 量，又存在 0∈ G ，使对一切 a ∈ G ，都有 a ＋ 0 ＝ 0 ＋ a ＝ a ，所 以③中集合 G 满足题目中的两个条件，所以③中 G 为“融洽 集 ” ；对于④，因为 x 2 ＋ 2 x ＋ 3 ＋ ( － x 2 － 2 x ＋ 1) ＝ 4 不是二次三 项式，即不满足条件(1)，所以④中 G 不是“融洽集”.故选 AC. 答案： AC 解答集合问题时应注意四点： (1) 注意集合中元素的性质 —— 互 异性的应用，解答时注意 检验 . (2)集合问题解题时要认清描述法给出的集合中元素的属 性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.注意 集合的元素 . 如 { y | y ＝ 2 x } ， { x | y ＝ 2 x } ， {( x ， y )| y ＝ 2 x } 表示不同的 集合. (3)注意 ∅ 的特殊性. ∅ 是任何集合的子集， 是任何非空集合的 真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解 .如在利用 A ⊆ B 或 A ∩ B ＝ ∅ 解题时，应对 A (或 B )是否为 ∅ 进行讨论. (4) 注意数形结合思想的应用 . 在进行集合运算时要尽可能 借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散 时用 Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，运用数轴图示法时 要注意 端点是实心还是空心，同时要特别注意端点的取舍 .