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- 2021-04-28 发布
雅安中学 2017—2018 学年高二（下）4 月月考
数 学 试 题（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分
钟。考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每个小题给出的四个选项中，只有唯
一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。）
1. 命题“ ”的否定为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选 C.
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】复数 ,故虚部为 ，
故答案为：D.
3. 命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 ，得到 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
4. 复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
故答案为：B.
5. 已知矩形 平面 ,则以下等式中可能不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】矩形 平面 ,则 PA 垂直于平面内的任意一条直线，故 D 正确；
又因为矩形，故 A 正确；B，因为 AB 垂直于 PA，AB 垂直于 AD，故 AB 垂直于面 PAD，故 ；C 是
不对的，假如 C 是正确的，则根据线面垂直会得到 BD 垂直于 AC，和题干矛盾.
故答案为 C.
-
6. 已知命题 ：对 ，总有 ； 是 且 的必要不充分条件条件，则下列命题为真命题的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】命题 ：对 ，总有 是假命题，当 时不成立；
由 ， ，反之不成立，例如当 ， 时， ， ，命题 为真命题；
故选 ， 是真命题
7. 下列命题中正确的命题个数是（ ）
①. 如果 共面， 也共面,则 共面;
②.已知直线 a 的方向向量 与平面 ，若 // ，则直线 a// ;
③若 共面，则存在唯一实数 使 ,反之也成立;
④.对空间任意点 O 与不共线的三点 A、B、C，若 =x +y +z
（其中 x、y、z∈R），则 P、A、B、C 四点共面.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】①令 共线， 不共线，满足 向量共面，向量 也共面，但向量 不一定共面，故①不正确；
②若∥平面 α，则直线 a∥平面 α 或 a⊂α，故②不正确；
③不妨令 M、A、B 三点共线，点 P∉AB，则不存在实数 x、y 使 故③不正确；
④∵三点 A、B、C 不共线 =x +y +z x+y+z=1，
∴ =x +y +（1﹣x﹣y） = ，∴ ，由共面向量基本定理知，P、A、B、C
四点共面，故④正确．
故答案为：C.
点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量
的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量
为基底.
8. 已知直线， 及平面 ， ， ， .命题 ：若 ，则， 一定不平行；命题 是， 没有公共
点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，则， 可能都平行于交线，即， 可能平行， 是假命题；若 ，则， 一定没有公共点，若，
没有公共点，则 可能平行，也可能相交，
是， 没有公共点的充分不必要条件， 是真命题， 是真命题，故选 C.
9. 已知命题 ：“若 是正四棱锥 棱 上的中点，则 ”；命题 ：“ 是 的充分不必要条
件”，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10. 平行六面体 中，向量 两两的夹角均为 ，且 ， ,则
等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由平行六面体 ABCDA1B1C1D1 可得：
=12+22+32+2cos60°（1×2+1×3+2×3）
=25，
∴ =5．
故答案为：A．
点睛：这个题目考查了向量在空间立体几何中的应用，可以通过建系的方法来求得线面角，线线角，面面角，以
及判断线面关系等，在一些不易建系的图中，也可以应用自由向量的方法，基底化达到目的.
11. 在直三棱柱 中, 已知 和 分别为 和 的中点, 与 分别为线
段 和 上的动点(不包括端点),若 ,则线段 的长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 , , , , ，由于 ，所以
， ，当 时，线段 长度的最小值是 ，当 时，线段
的最大值是 ，由于不包括端点，故 不能取，故选 .
点睛：本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查柱体的结构特征，考查利用空间直角坐标系，数形结合
的数学思想方法.由于几何体容易建系，故一开始就对其建立空间直角坐标系，利用两个向量垂直，数量积为零，
得到 两点坐标的关系，利用两点间距离公式和二次函数配方法，可求得取值范围.
12. 如图，正方体 的棱长为 1，中心为 ， ， ，则四面体 的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
则 O ，B（1，1，0），E（1，0， ），F（ ，1，0），
则| |= ，| |= ， ，
∴cos∠BOE= ．
∴sin∠BOE= ．
∴S△OEB= ．
设平面 OEB 的一个法向量为 ，
由 取 z=1，得
又
∴F 到平面 OEB 的距离 h= ．
∴四面体 OEBF 的体积 V= .
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡上。）
13. 若向量 ， 且 ，则 ______________________.
【答案】 和
【解析】设
故答案为: 和 .
14. 设 ，则“ ”是“ ”的___________________条件．
【答案】充要条件
【解析】 因为 .
若 则 ;
若 则 ;
若 则 ；
综上，“ ”是“ ”的充要条件.
15. 已知复数满足等式 （是虚数单位）.则 的最小值是__________.
【答案】
【解析】设 z=x+yi（x，y∈R），
∵|z﹣1|=|z+2i|，
∴|x﹣1+yi|=|x+（y+2）i|，
即
整理得：2x+4y+3=0．
∴复数 z 的对应点的轨迹是 2x+4y+3=0．
∴|z﹣1﹣i|的最小值即为点（0，1）到直线 2x+4y+3=0 的距离为：
故答案为： ．
16. 已知半径为 1 的球 内切于正四面体 ，线段 是球 的一条动直径（ 是直径的两端点），
点 是正四面体 的表面上的一个动点，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设正四面体的棱长为，则 ，所以 ，
解之得 ，所以 。由向量运算的三角形法则可得 ，所以
，而 ，则 。
由题设可知 ，即 ，所以 ，应填答案 。
点睛：本题旨在考查空间向量及空间线面的位置关系等有关知识的综合运用，检测等价化归与转化的数学思想及
数形结合的思想和意识及运算求解能力和分析问题解决问题的能力。
三、解答题：（本题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）
17. 设命题 函数 在 上是减函数，命题 函数 的定义域为全体实数 ，如果
是真命题，求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：分别讨论 真， 真时 的值，再根据 是真命题，进而求得实数 的取值范围
解析：若 真，则 ，即
若 真，则 ，解得 ，
是真命题，∴ 真 真，
∴ .
18. 已知复数 ，求分别为何值时，
（1）z 是实数；（2）z 是纯虚数；（3）当 时，求 Z 的共轭复数.
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题意得到要求虚部位 0 即可；（2）要求实部位 0 且虚部不为 0 即可，
，且 ，得 ；（2） ， ，得 ，进而得到
结果.
解析：
（1）Z 是实数， ，得
（2）Z 是纯虚数， ，且 ，得
（3）当 时， ，
得 ，得
当 时， ,得 ；
当 时， ,得
点睛：这个题目考查了复数的几何意义，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已
知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为 0，也要求虚部不为 0.
19. 如图，在多面体 中， 是正方形， 平面 ， 平面 ， ，点 为棱
的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：
（1）连结 ，交 于点 ，由三角形中位线的性质可得 平面 ,由线面垂直的性质定理可得 为平行
四边形，则 ，结合面面平行的判断定理有 平面 .最后，利用面面平行的判断定理可得平面 平
面 .
（2）利用 两两垂直建立空间直角坐标系，利用空间几何关系可得平面 的一个法向量为
， ，则直线 与平面 所成角的正弦值 .
试题解析：
（1）证明：连结 ，交 于点 ，
∴ 为 的中点，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 都垂直底面 ，
∴ .
∵ ，
∴ 为平行四边形，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
又∵ ，∴平面 平面 .
（2）由已知， 平面 ， 是正方形.
∴ 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 .
设 ，则 ，从而 ，
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 .
令 ，则 ，从而 .
∵ ，设 与平面 所成的角为，则
，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 已知命题 ： ；命题 ： ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1） ，
所以 对应的两根为 ，
当 时， ，不等式的解集为 ，
当 时， ，不等式的解集为 ，
当 时， ，不等式的解集为 ；
（2）由 可得， ，
所以 ，即
由（1）知，当 时，不等式的解集为 ，
所以 ,
∵ 是 的必要不充分条件，∴ 是 的必要不充分条件．
即 ，且等号不能同时取，
解得 ．故实数 的取值范围为 ．
点睛：本题以一元二次不等式的解法为背景设置了一道考查充分必要条件判定求参数的取值范围的问题。求解第
一问时，运用分类整合思想对一元二次不等式中的参数进行分类讨论，写出不等式的解集；第二问的求解过程中，
则充分依据充分必要条件中命题的的关系，借助集合之间的包含关系建立不等式组，然后通过解不等式组使得问
题获解。
21. 如图，在以 、 、 、 、 、 为顶点的五面体中，平面 CDEF 平面 ， ，四边形 为平行
四边形，且 .
（1）求证：CD BF；
（2）若 ， ，直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：
（1）过 作 交 于 ，连接 ，由面面垂直的性质可得 平面 ，则 .则 ，
， 为等腰直角三角形，据此可得 平面 ， .
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，由题设可得平面 的法向量为 ，平
面 的法向量为 ，则锐二面角的余弦值为 .
试题解析：
（1）过 作 交 于 ，连接 ，由平面 平面 ，得 平面 ，因此 .
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
由已知 得 为等腰直角三角形，因此 ，又 ，
∴ 平面 ，∴ .
（2）∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵平面 平面 ，∴ ，
由（1）可得 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，由题设可得
，进而可得 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
可取 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
可取 ，
则 ，
∴二面角的余弦值为 .
22. 如图 1 所示，在等腰梯形 中， .把 沿 折起，使得 ，
得到四棱锥 .如图 2 所示.
（1）求证：面 面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明 ，可得 面 ，从而得 ，进而
可得 ，于是 面 ，最后由面面垂直的判定定理可得结论；（2）以点 为原点，以
所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出两半平面的一个法向
量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：（1）证明：在等腰梯形 中 ，可知 .因为
，可得 .
又因为 ，即 ，则 .
又 ，可得 面 ，故 .
又因为 ，则 ，
，则 ，
所以 ，
又 ，所以 面 ，
又 面 ，所以面 面 ；
（2）
设 ，过点 作 交 于点 ，
以点 为原点，以 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .
在 中，∵ ， ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，可得平面 的法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，可得平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 所成锐二面角为，
则 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .