人教版七年级上册第四章：几何图形动点问题压轴题总结 12页

动点问题压轴大题 一、线段上的动点问题 1．(1)如图①，D 是线段 AB 上任 意一点，M，N 分别是 AD，DB 的中点，若 AB＝16，求 MN 的长． (2)如图②，AB＝16，点 D 是线段 AB 上一动点，M，N 分别是 AD，DB 的中点，能否求出 线段 MN 的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由． (3)如图③，AB＝16，点 D 运动到线段 AB 的延长线上，其他条件不变，能否求出线段 MN 的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由． (4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？ 2．如图，已知数轴上 A，B 两点对应的数分别为－2，6，O 为原点，点 P 为数轴上的一 动点，其对应的数为 x. (1)PA＝______，PB＝______(用含 x 的式子表示)． (2)在数轴上是否存在点 P，使 PA＋PB＝10？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说 明理由． (3)点 P 以 1 个单位长度/s 的速度从点 O 向右运动，同时点 A 以 5 个单位长度/s 的速度向左 运动，点 B 以 20 个单位长度/s 的速度向右运动，在运动过程中，M，N 分别是 AP，OB 的中 点，问：AB－OP MN 的值是否发生变化？请说明理由． 3．如图，线段 AB＝24，动点P 从 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 AB 运动， M 为 AP 的中点，设 P 的运动时间为 x 秒． (1)当 PB＝2AM 时，求 x 的值． (2)当 P 在线段 AB 上运动时，试说明 2BM－BP 为定值． (3)当 P 在 AB 延长线上运动时，N 为 BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA ＋PN 的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 4、如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上一点，且 AB＝14.动点 P 从点 A 出 发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t s(已知 O 为原点， 以向右为正)． (1)写出数轴上点 B 表示的数___，点 P 表示的数____(用含 t 的代数式表示)； (2)动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P，Q 同时出发，问点 P 运动多少秒时追上点 Q? (3)若 M 为 AP 的中点，N 为 PB 的中点．点 P 在运动的过程中，线段 MN 的长度是否发生 变化？若变化，请说明变化规律；若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长； (4)若 D 是数轴上一点，点 D 表示的数是 x，请你探索式子|x＋6|＋|x－8|是否有最小 值？如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由． 5、定义：若线段上的一个点把这条线段分成 1：2 的两条线段，则称这个点是这条线段 的三等分点．如图 1，点 C 在线段 AB 上，且 AC：CB=1：2，则点 C 是线段 AB 的一个三等分 点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图 2，DE=15cm，点 P 是 DE 的三等分点，求 DP 的长． （2）已知，线段 AB=15cm，如图 3，点 P 从点 A 出发以每秒 1cm 的速度在射线 AB 上向 点 B 方向运动；点 Q 从点 B 出发，先向点 A 方向运动，当与点 P 重合后立马改变方向与点 P 同向而行且速度始终为每秒 2cm，设运动时间为 t 秒． ①若点 P 点 Q 同时出发，且当点 P 与点 Q 重合时，求 t 的值． ②若点 P 点 Q 同时出发，且当点 P 是线段 AQ 的三等分点时，求 t 的值． 二、角动的问题 1、如图，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，∠AOC＝30°，将一直角三 角板(∠M＝30°)的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． (1)将图①中的三角板绕点 O 以每秒 3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图②， 经过 t s 后，OM 恰好平分∠BOC. ①求 t 的值； ②此时 ON 是否平分∠AOC？请说明理由； (2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6°的速 度沿顺时针方向旋转一周，如图③，那么经过多长时间 OC 平分∠MON？请说 明理由； (3)在(2)问的基础上，经过多长时间 OC 平分∠MOB？请画图并说明理由． 2、如图，已知∠AOB 内部有三条射线，其中 OE 平分∠BOC，OF 平分∠AOC. (1)若∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，求∠EOF 的度数？ (2)若∠AOB＝α，求∠EOF 的度数(用含α的式子表示)； (3)若将题中的“OE 平分∠BOC，OF 平分∠AOC”改为“∠EOB＝1 3 ∠COB，∠COF ＝2 3 ∠COA，且∠AOB＝α，求∠EOF 的度数(用含α的式子表示)． 3、如图，O 是直线 AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC． （1）若∠AOC=30°，求∠DOE 的度数； （2）若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（ 用含α的代数式表示）； （3）在（1）的条件下，∠BOC 的内部有一射线 OG，射线 OG 将∠BOC 分为 1： 4 两部分，求∠DOG 的度数． 4、一副三角板 ABC、DEF，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°） （1）求∠DBA 的度数． （2）若三角板 DBE 绕 B 点逆时针旋转，（如图 2）在旋转过程中 BM、BN 分别 平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN 如何变化？ （3）若三角板 BDE 绕 B 点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2） 的结论是否变化？ 答案 线段上的动点问题 1．解：(1)MN＝DM＋DN＝1 2AD＋1 2BD＝1 2(AD＋BD)＝1 2AB＝8. (2)能．MN＝DM＋DN＝1 2AD＋1 2BD＝1 2(AD＋BD)＝1 2AB＝8. (3)能．MN＝MD－DN＝1 2AD－1 2BD＝1 2(AD－BD)＝1 2AB＝8. (4)若点 D 在线段 AB 所在直线上，点 M，N 分别是 AD，DB 的中点，则 MN＝ 1 2 AB. 2．解：(1)|x＋2|；|x－6| (2)分三种情况： ①当点 P 在 A，B 之间时，PA＋PB＝8，故舍去； ②当点 P 在 B 点右边时，PA＝x＋2，PB＝x－6， 因为(x＋2)＋(x－6)＝10，所以 x＝7； ③当点 P 在 A 点左边时，PA＝－x－2，PB＝6－x， 因为(－x－2)＋(6－x)＝10，所以 x＝－3. 综上，当 x＝－3 或 7 时，PA＋PB＝10. (3)AB－OP MN 的值不发生变化．理由如下： 设运动时间为 t s， 则 OP＝t，OA＝5t＋2，OB＝20t＋6，AB＝OA＋OB＝25t＋8， AB－OP＝24t＋8，AP＝OA＋OP＝6t＋2，AM＝1 2AP＝3t＋1， OM＝OA－AM＝5t＋2－(3t＋1)＝2t＋1，ON＝1 2OB＝10t＋3， 所以 MN＝OM＋ON＝12t＋4.所以AB－OP MN ＝24t＋8 12t＋4 ＝2. 3．解：(1)当点 P 在点 B 左边时，PA＝2x，PB＝24－2x，AM＝x，所 以 24－2x ＝2x，即 x＝6；当点 P 在点 B 右边时，PA＝2x，PB＝2x－24，AM＝x，所 以 2x－24＝2x，方程无解．综上可得，x 的值为 6. (2)当 P 在线段 AB 上运动时，BM＝24－x，BP＝24－2x，所以 2BM－BP＝2(24 －x)－(24－2x)＝24，即 2BM－BP 为定值． (3)①正确．当 P 在 AB 延长线上运动时，PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24， PN＝1 2PB＝x－12， 所以①MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12. 所以 MN 长度不变，为定值 12. ②MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12， 所以 MA＋PN 的值是变化的． 4、（1）-6；8-5t (2)点 Q 表示的数为－6－3t，当点 P 追上点 Q 时，8－5t＝－6－3t，解得 t＝7， ∴点 P 运动 7 s 时追上点 Q； (3)没有变化．分两种情况． ①当点 P 在 A，B 两点之间运动时(如答图①)： 变形 4 答图① MN＝MP＋NP＝1 2AP＋1 2BP＝1 2(AP＋BP)＝1 2AB＝7； ②当点 P 运动到点 B 的左侧时(如答图②)： 变形 4 答图② MN＝MP－NP＝1 2AP－1 2BP＝1 2(AP－BP)＝1 2AB＝7. 综上所述，线段 MN 的长度不发生变化，其值为 7； (4)式子|x＋6|＋|x－8|有最小值，最小值为 14. 提示：当 x＞8 时，原式＝2x－2＞14， 当 x＜－6 时，原式＝2－2x＞14， 当－6≤x≤8 时， 原式＝x＋6－x＋8＝14， ∴|x＋6|＋|x－8|有最小值 14. 也可通过数形结合，求 D 到 A，B 距离之和的最小值来解． 5、解：（1）当 DP＝2PE 时，DP＝DE＝10cm； 当 2DP＝PE 时，DP＝DE＝5cm． 综上所述：DP 的长为 5cm 或 10cm． （2）①根据题意得：（1+2）t＝15， 解得：t＝5． 答：当 t＝5 秒时，点 P 与点 Q 重合． ②（I）点 P、Q 重合前： 当 2AP＝PQ 时，有 t+2t+2t＝15， 解得：t＝3； 当 AP＝2PQ 时，有 t+ t+2t＝15， 解得：t＝3.75； （II）点 P、Q 重合后， 当 AP＝2PQ 时，有 t＝2（t﹣5）， 解得：t＝10； 当 2AP＝PQ 时，有 2t＝（t﹣5）， 解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）． 综上所述：当 t＝3 秒、3.75 秒或 10 秒时，点 P 是线段 AQ 的三等分点． 二、角动的问题 1、解：（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=2∠COM=150°， ∴∠COM=75°， ∴∠CON=15°， ∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°， 解得：t=15°÷3°=5 秒； ②是，理由如下： ∵∠CON=15°，∠AON=15°， ∴ON 平分∠AOC； （2）15 秒时 OC 平分∠MON，理由如下： ∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠COM=45°， ∵三角板绕点 O 以每秒 3°的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6°的速度旋转， 设∠AON 为 3t，∠AOC 为 30°+6t， ∵∠AOC﹣∠AON=45°， 可得：6t﹣3t=15°， 解得：t=5 秒； （3）OC 平分∠MOB ∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM， ∵三角板绕点 O 以每秒 3°的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6°的速度旋转， 设∠AON 为 3t，∠AOC 为 30°+6t， ∴∠COM 为 （90°﹣3t）， ∵∠BOM+∠AON=90°， 可得：180°﹣（30°+6t）= （90°﹣3t）， 解得：t=23.3 秒； 2、(1)∵OF 平分∠AOC， ∴∠COF＝1 2 ∠AOC＝1 2×30°＝15°， ∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝120°－30°＝90°， ∵OE 平分∠BOC， ∴∠EOC＝1 2 ∠BOC＝45°， ∴∠EOF＝∠COF＋∠EOC＝60°； (2)∵OF 平分∠AOC， ∴∠COF＝1 2 ∠AOC，同理∠EOC＝1 2 ∠BOC， ∴∠EOF＝∠COF＋∠EOC ＝1 2 ∠AOC＋1 2 ∠BOC ＝1 2(∠AOC＋∠BOC) ＝1 2 ∠AOB＝1 2α； (3)∵∠EOB＝1 3 ∠COB， ∴∠EOC＝2 3 ∠COB， ∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF ＝2 3 ∠COB＋2 3 ∠COA ＝2 3 ∠AOB＝2 3α. 4、