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- 2021-04-28 发布
宁夏银川市第六中学2020届高三第三次月考
数学试卷（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则CRA=( )
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数的值为( )
A． B． C． D．
3．若向量=（0，-2），=（，1），则与共线的向量可以是( )
A．（，-1） B．（-1，） C．（，-1） D．（）
4．设，，那么“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．2 B．3
C．2 D．2
6．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的
最小值与最大值的比值为( )
A． B． C． D．
7．某汽车公司的A,B两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A厂每小时可装配1
辆甲型车和2辆乙型车,B
厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和
40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为( )
A．16,8 B．15,9
C．17,7 D．14,10
8．已知正数满足，则的最小值为( )
A．5 B． C． D．2
9．已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的
横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有
两个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
10．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
开始
n=1,s=0
n=n+1
n<2019?
否
是
输出S
结束
A． B． C． D．
11．甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;甲
的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是( )
A．甲是教师,乙是医生,丙是记者 B．甲是医生,乙是记者,丙是教师
C．甲是医生,乙是教师,丙是记者 D．甲是记者,乙是医生,丙是教师
12．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，
则使得成立的的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等
式的解集为________________.
14．观察下列各式：，，，，…，由此推得：
．
15．若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .
16．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水体积为 cm3.
三、 解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，
第22、23题为选考题.
（一）必考题：共60分
17．（12分）
设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an.
(2)求数列{an-n-2}的前n项和.
18．（12分）
某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为,若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f(x)为建造宿舍与修路费用之和.
(1)求f(x)的表达式
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小并求最小值.
19．（12分）
如图，在四边形中，
（1）求的正弦值；
（2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.
20．（12分）
各项均为正数的等比数列中，已知是数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）求满足的最大正整数n的值.
21．（12分）
已知函数 ．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；
(3)求证：．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程是，射线与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数
（1）解不等式；
（2）若，求证：.
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
B
D
B
A
C
D
D
C
C
二、填空题：
13． 14． 15. 16.
三、解答题：
17．解：(1)由题意得则-----------------------------------2分
又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,-------4分
所以数列{an}是以1为首项,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,n∈N*.---6分
(2)记Sn=(a1-1-2)+(a2-2-2)+(a3-3-2)+……+(an-n-2) ------8分
=(a1+a2+……+an)-[3+4+5+……+(n+2)] ------10分
=-----12分
18．解：(1)根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元
-------------3分
-------------6分
(2)=75 -------------8分
当且仅当即x＝5时-------------11分
答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f(x)最小为75万元. ------12分
19. 解：（Ⅰ）在△中，设，
由余弦定理得，-----------------2分
整理得，解得.
所以---------------------------------------------------4分
由正弦定理得，解得 .......................6分
（Ⅱ）由已知得，
所以，
化简得 ------------------------------8分
所以
于是--------------------------------------------------10分
因为，且为锐角，
所以.----------------------------12分
因此 ...............12分
20．
21．解：（1）函数的定义域为， , 2分
当时，的单调增区间为，单调减区间为； 3分
当时，的单调增区间为，单调减区间为； 4分
（2）令,
则，令，则 5分
（a）若,即 则在是增函数,
无解. 6分
（b）若即，则在是减函数,
所以 7分
（c）若,即，在是减函数, 在是增函数,
可得， 可得
所以
综上所述 8分
（3）令（或）此时，所以，
由（1）知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立， 9分
∵，则有， 10分
所以
12分
22. 解：(1)曲线的普通方程为 ，
极坐标方程为 ------4分
(2)设，则有解得 --6分
设，则有解得--8分
所以 . --10分
23.解：（1）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝
当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；
当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；
当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．……………………………………………4分
所以，不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}．……………………………5分
（2）f(ab)＞|a|f()，即|ab－1|＞|a－b|． …………………………………………6分
∵因为|a|＜1，|b|＜1，
∴|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以，|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．…………………………………10分