2018-2109学年四川省雅安中学高一下学期期中考试数学试题 9页

‎ ‎ ‎2018-2109学年四川省雅安中学高一下学期期中考试数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎2. △ABC中，，，，则最短边的边长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （   ）‎ ‎    ‎ ‎ A．b = 10， A = 45°， B = 70°    B．a = 60， c = 48， B = 100°      ‎ ‎    C．a = 7， b = 5， A = 80°    D．a = 14， b = 16， A = 45°‎ ‎4．等差数列{an}中，已知 （ ） A．48 B．49 C．50 D．51‎ ‎ 5. 在R上定义运算⊗：a⊗b＝ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）‎ ‎ A．（0，2） B．（﹣2，1） ‎ ‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣1，‎ ‎2）‎ ‎6．下列命题中，正确的是（　　）‎ A．若a＞b，c＞d，则ac＞bc B．若ac＞bc，则a＜b ‎ C．若，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d ‎7.已知数列{an}，满足an+1＝，若a1＝，则a2014＝（　　）‎ A． B．2 C．﹣1 D．1‎ ‎.‎ ‎8. △ABC中，，，则△ABC一定是 （ ）‎ A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 ‎9.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角 为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（ ） ‎ A. m B. m C. m D.30 m ‎10.已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于（ ）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎11．已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 12. 设P（x，y）是函数y＝f（x）的图象上一点，向量＝（1，（x﹣2）5），＝（1，y﹣2x），且满 足∥，数列{an}是公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a9）＝36，则a1+a2+…+a9＝（　　）‎ A．0 B．9 C．18 D．36‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）[来源:学科网ZXXK]‎ ‎13．已知向量⊥，||＝3，则•＝　 　．‎ ‎=‎ ‎14. 在中，，则 _______ ‎ ‎15. 已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an﹣1﹣an＝anan﹣1（n≥2），‎ 则a1a2+a2a3+…+a2014a2015＝　 　．‎ ‎16．已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. 设向量满足及，‎ ‎（Ⅰ）求夹角θ的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎18.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，[ ‎ ‎(1)求cosA ‎(2)求a的值．‎ ‎19.数列{}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负 ‎(1)求此等差数列的公差d;‎ ‎(2)设前n项和为,求的最大值;‎ ‎(3)当是正数时,求n的最大值.‎ ‎20. 设向量，，．‎ ‎（1）若，求x的值；‎ ‎（2）设函数，求f（x）的最大值．‎ ‎21. 如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为 两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，‎ ‎30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、‎ D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，‎ ≈1.414，≈2.449)．‎ ‎22. 已知数列{an}是正数等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足 2Sn+bn＝1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）如果cn＝anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．‎ ‎参考答案：‎ 一．选择题：BADCB CADAA AC 二．填空题：13.（9） 14.（）‎ ‎ 15. ． 16.（－5）‎ ‎ ‎ 三．解答题：‎ ‎17.解：（Ⅰ）由，‎ 得，即，[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，cosθ＝．‎ 又∵θ∈[0，π]，∴夹角θ＝；‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎＝9+6||||+1＝．‎ ‎∴＝．‎ ‎ ‎ ‎18.解：∵b＝3，c＝1，△ABC的面积为， ‎ ‎∴＝，‎ ‎∴sinA＝，‎ 又∵sin2A+cos2A＝1‎ ‎∴cosA＝±，‎ 由余弦定理可得a＝＝2或2．‎ ‎19. (1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.‎ ‎(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.‎ ‎(3)由a1=23,d=－4,则=n(50－4n),设＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12.‎ ‎20. 解：（1）由题意可得 ＝+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝1，‎ 由，可得 4sin2x＝1，即sin2x＝．‎ ‎∵x∈[0，]，∴sinx＝，即x＝．‎ ‎（2）∵函数＝（sinx，sinx）•（cosx，sinx）＝sinxcosx+sin2x＝sin2x+＝sin（2x﹣）+．‎ ‎ x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴当2x﹣＝，sin（2x﹣）+取得最大值为1+＝．‎ ‎21. 解：在△ACD中，∠DAC＝30°，‎ ‎∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，‎ 所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.‎ 在△ABC中，＝，所以AB＝＝.‎ 同理，BD＝≈0.33(km)，‎ 故B、D的距离约为0.33 km. ‎ ‎ 22. 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列，‎ ‎∴依条件有，‎ 即，解得（舍）或d＝1，‎ 所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）＝n 由2Sn+bn＝1，得，‎ 当n＝1时，2S1+b1＝1，解得，‎ 当n≥2时，，‎ 所以，‎ 所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，‎ 故 ‎（2）由（1）知，，‎ 所以①‎ ‎②‎ 得．‎ 又．‎ 所以，‎ 当n＝1时，T1＝S1，‎ 当n≥2时，，所以Tn＞Sn，‎ 故所求的正整数n存在，其最小值是2.‎ ‎ ‎