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- 2021-04-28 发布
一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为( )．
A. B. C. D.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
解析 设“朝上的点数之和等于6”为事件A，则P(A)＝.
答案 A
2．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )．
A．e2 B．e C. D．ln 2
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，
即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.
答案 B
3．已知ab≠0，那么＞1是＜1的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 ＞1即＞0，所以a＞b＞0，或a＜b＜0，此时＜1成立；
反之＜1，所以＞0，即a＞b，a＞0或a＜0，a＜b，
此时不能得出＞1.
答案 A
4．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是( )[来源:学,科,网]
A．线段 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即②
代入①式整理可得x2＋＝1.
答案 C
5．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝2.|F1F2|＝，∴e＝＝.
答案 A[来源:学,科,网]
二．填空题。（本部分共2道填空题）
1．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围________．
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
由已知条件Δ>0，即36a2－36(a＋2)>0，
解得a<－1，或a>2.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
2．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．
解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．
∴sin α＞0，cos β＜0，
∴β为钝角．故三角形为钝角三角形．
答案 钝角三角形
三．解答题。（本部分共1道解答题）
已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．[来源:Z_xx_k.Com]
解析 (1)由题设知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，
则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－)．②
联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，
即x1＝，y1＝，③
则x≠0，|x|＜.
而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，
∴－y21＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±.[来源:Zxxk.Com]
(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)，
联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝ ，k2＝ －.
由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.
过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，
由×＝－1，得h＝.此时，
l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，