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- 2021-04-28 发布
静海一中2019-2020第二学期高三数学（5周）
学生学业能力调研考试试卷
考生注意：本次考试收到试卷1：45考试时间为2：00—3：30交卷时间截止到3：40请同学们严格按照考试时间作答，并将答题纸拍照上传
本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题两部分，共150分.
知识与技能
学习能力（学法）
内容
函数与导数
三角函数与解三角形
数列
集合与简易逻辑
易混易错
方法归类
一题多变
分数
10
20
30
40
10
10
5
第Ⅰ卷基础题（共130分）
一、选择题：（每小题6分，共42分，每小题只有一个正确选项）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得，，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】由题意，可求得，，则，
所以.故选B.
【点睛】本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
2.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
找到两个不等式之间的关系，理解充分，必要条件的概念可得结果.
详解】由，所以或，
即或，所以可知
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分，必要条件的概念，可以等价于集合之间的包含关系，属基本题型.
3.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.
【详解】由题意可知在上是增函数，在上是减函数.
因为，，，
所以，故.
故选：A
【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.
4.在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选B
【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
5.函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象
【详解】，定义域为，，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，，且，所以，选择B
【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：
1从函数定义域，值域判断；
2.从函数的单调性，判断变化趋势；
3.从函数的奇偶性判断函数的对称性；
4.从函数的周期性判断；
5.从函数的特征点，排除不合要求的图象
6.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.
【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，
因为是奇函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
7.若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知且，故函数最多两个零点，故函数必须有零点，而函数是单调函数，故函数最多有一个零点，所以得出函数必须有一个零点，函数必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出的范围．
【详解】解：由题意可知且，
当时，
函数的导函数为，
所以函数在为减函数，在为增函数，
故函数最多两个零点；
而当时，
函数是单调函数，
故函数最多有一个零点；
根据上述分析可以得出：函数必须有两个零点，函数必须有一个零点．
当时，
在函数中，
因为，
故，解得，
当时，
当时，函数单调递减，
，不满足题意，
当时，函数是单调递增，
因为在时有一个零点，
则，解得：
综上：，故选C．
【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进行求解，属于较难题．
二、填空题（每小题6分共42分）
8.若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为______
【答案】0
【解析】
【分析】
先将整理为的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可
【详解】由题,,
因为是纯虚数,所以,
故答案为：0
【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用
9.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】
首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.
【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，
故选派的方法为：.
故答案为．
【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
10.过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准方程,确定圆心与半径，当斜率存在时，设斜率为，方程，利用垂径定理，结合勾股定理, 可求得
的值，再验证当斜率不存在时是否满足题意即可得结果.
【详解】圆化为，圆心，半径，
点在圆内，
当斜率存在时，设斜率为，方程，即，
圆心到直线距离为，
，的方程
当斜率不存在时，直线也满足，
的方程或，
故答案为或.
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
11.若实数满足，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据对数的运算性质可得xy＝2，再根据基本不等式即可求
【详解】实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，
则，
当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号
故的最大值为，
故答案为．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查了对数的运算，其中对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．
12.三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________
【答案】
【解析】
【详解】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，
所以，
考点：几何体的体积.
13.已知四边形中，，，为中点且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理将与都用来表示，进行数量积的运算即可.
【详解】，
又，，
，
故答案为.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了数量积的运算，属于中档题.
14.已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为求解即可.
【详解】
，
，
是奇函数，且，
又，
，
，
在上递增，
，
化为，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．
三、解答题（46分）
15.在中，内角所对的边分别为.已知，.
（I）求的值；
（II）求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.
由，及余弦定理，得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，
，故
.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
16.如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）已知是平面内一点，点为中点，且平面，求线段的长．
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，利用法向量计算余弦值即可；
(Ⅲ)利用空间向量求得点Q的坐标，然后结合点P的坐标可得线段的长.
【详解】（Ⅰ）∵顶点在底面上的射影在棱上，
∴平面平面，
∵，∴，
∵平面平面，∴平面，面，∴，
由，，得，∴，
∵，∴平面．
（Ⅱ）连结，分别以、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，则，
取，得，
，，
设平面的法向量，则，
取，则，
设二面角的平面角为，则．
∴二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设，，
因为平面，所以
所以，，所以．
【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
17.已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【详解】（1）由得，得；
（2）易得，
错位相减得
所以其前项和；
（3）
，
或写成.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
第Ⅱ卷提高题（共20分）
18.已知函数.
（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.
【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：
（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；
（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.
试题解析：
（1）由得.
由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，
即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，
所以实数a的取值范围.
（2）由可得
当时， ，所以函数的增区间为；
当时，若， ，若， ，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
（3）由及题设得，
由可得，由（2）可知函数在上递增，
所以，取，显然，
，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+∞）上的情况如下：
－ 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1