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- 2021-04-28 发布
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凤冈一中2019级高一数学第一次月考试题
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1.已知全集，则）等于 （ ）
A. {2，4，6} B. {1，3，5} C. {2，4，5} D. {2，5}
【答案】A
【解析】
【分析】
先求,再求.
【详解】因为,所以,
所以.
故选A.
【点睛】本题考查了集合的运算,属基础题.
2.已知集合A={x|x2-1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{-1}∈A；③∅⊆A；④{1，-1}⊆A．正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
先解得集合A的元素．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可．
【详解】因为A＝{x|x2﹣1＝0}，
∴A＝{﹣1，1}
对于①1∈A显然正确；
对于②{﹣1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；
对③∅⊆A，根据集合与集合之间的关系易知正确；
对④{1，﹣1}⊆A．同上可知正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识，属于基础题．
3.已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（ ）
A. 5 B. 2 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】,
,
所以 ,
集合A中元素2在B中的象是5，
故选A.
4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对每个函数的奇偶性和单调性进行判断可得.
【详解】因为不是奇函数,所以排除A;
因为和在其定义域内都不是增函数,所以排除B,C;
函数既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数,符合.
故选D.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属基础题.
5.已知，那么的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
按自变量对应解析式从内到外依次求值.
【详解】∵，∴；
∴，
又，∴．
∴
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.
6.函数的图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
将函数化成分段函数,可知A正确.
【详解】因为 ,
所以选A.
【点睛】本题考查了分段函数的图象,属基础题.
7.下列四组函数中表示同一函数的是（ ）
A. ， B.
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【详解】由于函数 的定义域为 ，而函数的定义域为 这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除A．
由于函数 的定义域均为 ，但这 2个函数的对应关系不同，故不是同一个函数，故排除B．
由于函数 的定义域与函数 的定义域，对应关系，值域完全相同， 故这2个函数是同一个函数．
由于函数的定义域为，函数的定义域为定义域不同，故不是同一个函数．故排除D
故选C．
8.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：二次函数的单调递减区间为，由题可知：，所以有，即，故选D.
考点：二次函数的单调性.
9.在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
那么 ( )
A. a B. b C. c D. d
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算=,再计算=.
【详解】根据运算可知:=,
再根据运算可得: =.
故选C.
【点睛】本题考查了新定义的理解,属基础题.
10.函数的定义域是（ ）
A. [﹣2，2] B. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C. （﹣2，2） D. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据偶次根式的被开方非负和分母不为0,列式可解得.
【详解】要使函数有意义,只需:,解得: 或.
故选D.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属基础题.
11.下列命题正确个数为（ ）
（1）若，当时，则在上是单调递增函数；
（2）单调减区间为；
（3）
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
2
1
-2
-3
-4
上述表格中的函数是奇函数；
（4）若是上的偶函数，则都在图像上.
A. 0 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】
对于(1) :当时,由可得:, 根据增函数的定义可知(1)正确;
对于(2):单调减区间的减区间有两个,它们是和,而不是;不正确.
对于(3):时,不满足奇函数的定义,不正确.
对于(4): 的坐标显然满足,结合偶函数的定义可知点 的坐标都满足
,所以点 都在 的图象上.
【详解】对于(1) :若,当时,由可得:,根据增函数的定义可知(1)正确;
对于(2) :单调减区间为,不能写成并集形式,故(2)错误;
对于(3):因为= , ,不满足,所以表格中的函数不是奇函数,所以不正确;
对于(4):显然在图像上;
因为函数为偶函数,所以,所以也在图像上.;
因为函数为偶函数,所以,所以也在图像上.故(4)正确.
故选C.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属基础题.
12.已知函数是上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：为图象上的点，，由，得，即，又为上的增函数，所以，即不等式的解集为，故选B．
考点：函数单调性的应用、绝对值不等式的求解.
【方法点晴】本题属于对函数单调性应用使得考察，若函数在区间上单调递增，则
时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知集合，则集合的真子集共有 个．
【答案】7
【解析】
试题分析：集合含有3个元素，则子集个数为，真子集有7个
考点：集合的子集
14.已知,且,则等于_________________
【答案】
【解析】
【分析】
先利用换元法求出函数的解析式为,再由解方程可得.
【详解】令,则,所以,
所以,
所以,解得.
【点睛】本题考查了用换元法求函数的解析式,属基础题.
15.已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则a=______．
【答案】
【解析】
【分析】
对分三种情况讨论代解析式可解得.
【详解】当时, ,不合题意,
当 时,,不合题意,
当时,,解得 或 (舍).
故答案:.
【点睛】本题考查了分段函数,属基础题.
16.已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由可解得.
【详解】因为函数的定义域为,所以,
所以由,解得:,
所以函数的定义域为.
【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法,属基础题.
三．解答题（17题10分，18-22每题12分，解答中写出必要的证明过程和解答步骤）
17.已知全集
(1).当时，求
(2).若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)当时,化简集合,然后求出交集;
(2)先求出,再根据子集关系列式可得.
【详解】(1)当时,,又或,
所以.
(2)因为,,且,
所以.
【点睛】本题考查了集合的交集,补集运算以及集合的包含关系,属基础题.
18. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护需50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】（1）88（2）当时，最大，最大值为元．
【解析】
解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
19.已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．
【答案】（Ⅰ）函数为奇函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求函数定义域并验证其定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义验证即证；（Ⅱ）根据减函数的定义，证明当且时，总有即证；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知函数为奇函数，其图象关于原点对称，得在（﹣1，0）上是减函数。
试题解析：（Ⅰ）函数为奇函数，理由如下：
易知函数的定义域为：，关于坐标原点对称.
又
在定义域上是奇函数.
（Ⅱ）设且，则
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，
又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．
∴，即
因此函数在（0，1）上是减函数.
（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．
考点：1、奇、偶函数判定方法；2、函数单调性的判定方法；3、函数的单调区间.
20.已知函数，
（1）画出函数图像；
（2）求的值；
（3）当时，求取值的集合.
【答案】（1）见解析；（2），＝11；（3）
【解析】
分析】
(1)分段作图即可;
(2)根据自变量的取值范围代入相应的解析式求值即可;
(3)分三段求出值域,再相并可得.
【详解】图像如下:
（2），=＝11，
（3），当时，;
当时;
当时,
时，取值的集合为
【点睛】本题考查了函数的表示,属基础题.
21.已知函数.
(1)求f(2)与，f(3)与的值．
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与有什么关系？并证明你的发现．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋＋f(2012)＋.
【答案】（1），，，；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)直接代入解析式可求得;
(2) 由（1）中求得的结果，可猜测,再利用函数解析式代入可证;
(3) 由（2）知,然后分组求和可得.
【详解】（1），；，.
（2）由（1）中求得的结果，可猜测.
证明如下：.
（3）由（2）知.
∴，，…，.又，
∴f(1)＋f (2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＋＝＋＝.
【点睛】本题考查了由特殊到一般的归纳推理以及分组求和法,关键是观察自变量的关系与函数值的关系,属中档题.
22.定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时.
(1)求及的值；
(2)求证:是偶函数；
(3)解不等式：.
【答案】（1）f(-1)=0，f(1)=0；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1) 令可解得;令,可解得: ;
(2) 令,结合偶函数的定义可证;
(3)先用定义证明函数在上是增函数,再将不等式转化为后,利用单调性可解得.
【详解】(1)在中,令,可得,解得.
令,可得:,解得:.
(2) 中,令,可得,
所以函数 是偶函数.
(3)当时, ,由题意得:
,
所以在上是增函数,
又由(2)知是偶函数,
所以 等价于,等价于,
又在上是增函数,所以,且,
解得:且,
所以不等式的解集为
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性的证明,利用奇偶性和单调性解不等式.属难题.