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- 2021-04-28 发布
北京市八一学校2019－2020学年度高二年级10月考（数学）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合，再根据交集运算求解.
【详解】因为，所以，又因为，所以.
故答案为：D.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
2.如果，，那么下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用先确定，再利用不等式的性质求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式两边同乘一个负数，不等号要改变，侧重考查逻辑推理的核心素养.
3.已知、、、是公比为的等比数列，则（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据、、、是公比为的等比数列，得出，代入可求.
【详解】因为、、、是公比为的等比数列，所以，
所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等比数列的运算，明确项之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
4.已知等差数列的前项和为，，，是（ ）
A. 5 B. 5 C. 2.5 D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件先求解首项和公差，结合求和公式及通项公式可求.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，即.
由可得，所以，.
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记求和公式及通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
5.已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则函数在处的导数值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先求解曲线的切线方程，结合导数的几何意义可得.
【详解】因为直线经过，两点，所以直线的方程为，
又直线与曲线切于点，所以在处的导数值等于直线的斜率1.
故选：C.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率，这是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
6.已知数列的前项和为，且.若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据条件求解通项公式，然后递增数列的特点求解的取值范围.
【详解】当时，；
当时，，
因为，所以当时，数列为递增数列.
若数列为递增数列，只需，所以，即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列的单调性，由求解时，公式是关键，侧重考查数学运算的核心素养.
7.若，成立，则自然数的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
把条件，成立，转化为求解的最大值来进行求解.
【详解】当时，有；
当时，.
因为时，，所以，且时等号成立；
因为时，，所以，且时等号成立；
综上可得自然数的最大值为2.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，区分恒成立与能成立不同，同时还要注意基本不等式成立的条件，侧重考查数学运算的核心素养.
8.对等差数列和等比数列，下列推断中有时不成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列和等比数列的性质进行判断.
【详解】对于等差数列，若，则，故A正确；
由可知，C正确；
对于等比数列，，故D正确；
当，公比时，有，但是，所以B选项有时不成立.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，等比数列中公比和首项的符号共同决定数列的单调性，侧重考查逻辑推理的核心素养.
9.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得 .故本题选B.
10.对数列，记前项和为.下列四个结论中一定成立的是（ ）
A. 若（、、是常数），则是等差数列
B. 若，则既是等差数列又是等比数列
C. 若，则等比数列
D. 若是等比数列，则，，也成等比数列
【答案】C
【解析】
【分析】
结合等差数列和等比数列的性质进行逐项判断.
【详解】对于A，当时，不是等差数列，故A不正确；
对于B，若，则是等差数列，不是等比数列，故B不正确；
对于C，当时，，
当时，，所以是等比数列；
对于D，若，则，，不成等比数列.
故选：C.
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，特例法是求解这类问题的妙方，侧重考查逻辑推理的核心素养.
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11.若时，函数最小值为5，则正实数____________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出最小值，结合条件可得的值.
【详解】因为，所以，所以，即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时注意适用条件，侧重考查数学运算的核心素养.
12.已知等差数列中，前项和记为，，，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，，可求公差，结合等差数列的求和公式可得.
【详解】设等差数列的公差为，则，所以，
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，根据通项公式求解公差是关键，侧重考查了数学运算的核心素养.
13.数列的通项公式是，那么它的前项和最大时的的值是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先判断数列的单调性，找到符号变号的临界项就能得到结果.
【详解】因为，所以，即数列是单调递减的等差数列，
令得，即，所以前项和最大时的的值是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查等差数列前项和的最值问题，一般有两种思路，一是利用通项公式寻求正负项的界限；二是利用二次函数知识求解.侧重考查数学运算的核心素养.
14.已知抛物线的每个点都不在直线的下方.如果直线经过点，那么它的斜率的值可能是____________（写出1个满足条件的实数值即可）.
【答案】2(答案不唯一，满足的值均可)
【解析】
【分析】
先求直线与抛物线相切时的斜率，从而可得满足条件的斜率的值.
【详解】设直线恰好与抛物线相切，则由得，，解得，
所以当时，抛物线的每个点都不在直线的下方.
故答案为：2(答案不唯一).
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，直线与抛物线相切时，一般利用判别式为零求解，侧重考查数学运算的核心素养.
15.已知数列满足，，，则等于____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，得出奇数项成等比数列，然后可求.
【详解】因为，所以，两式相除可得，
所以奇数项成等比数列，且公比为2，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，根据条件得出等比数列是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16.数列满足：，，则此数列的前32项和=____________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用条件中递推关系式，得出数列的特点，相邻奇数项和为1，相邻偶数项的和为等差数列，然后利用分组求和进行求解.
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以依次取2个相邻奇数项的和都为1，从第二项起，依次取2个相邻偶数项的和构成等差数列，且首项为5，公差为8.
所以此数列的前32项和为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查数列的递推关系及数列求和问题，根据数列通项的特点选择合适的求和方法是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
17.设等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求数列前项和.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，，可得公差，然后可求数列的通项公式；
（2）先根据条件求出等比数列的首项和公比，然后利用求和公式求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，所以，
所以.
（2）由（1）知，
所以公比为，所以.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的求和，熟记相关公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
18.工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求：工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元.
【答案】工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元.
【解析】
【分析】
先设出比例系数，利用已知求出系数，结合基本不等式求解最值.
【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则
；
当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，
所以；
所以运费与仓储费之和为，
因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.
故工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，关键是构建数学模型，侧重考查数学建模的核心素养.
19.已知数列，前项和记为，请在如下3个条件下选择一个，然后求相应的通项公式及其前项和公式.
（1），，
（2），，
（3），，
【答案】（1），；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）对已知条件取倒数构造等差数列，利用等差数列的知识可求；
（2）利用的关系进行求解，结合等比数列的通项公式和求和公式可得；
（3）利用的关系进行求解，结合等差数列的通项公式和求和公式可得.
【详解】（1）因为，所以，即，
；
两式相减可得，即；
因为，所以，所以，其前前项和为.
（2）当时，；
当时，，，两式相减可得，即，
所以；
综上；
当时，其前项和公式为；
当时，.
（3）当时，，解得；
当时，，两式相减可得，整理可得，
因为，所以，所以，
.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解方法，知求通项公式公式时，要注意分类讨论，验证首项是否满足，侧重考查数学运算的核心素养.
20.已知有限项的、正整数的递增数列，并满足如下条件：对任意不大于各项总和的正整数，总存在一个子列，使得该子列所有项的和恰好等于.这里的‘子列’是指由原数列中的一部分项（包括一项、所有项）组成的新数列.
（1）写出，的值；
（2）“成等差数列”的充要条件是“各项总和恰好是其项数、项数平方值的等差中项”.为什么？请说明理由.
（3）若，写出“项数最少时，中的最大项”的值.
【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）当取最小值时，的最大值为1010.
【解析】
【分析】
（1）利用数列是正整数的递增数列及题意可求；
（2）先利用等差数列求和公式证明必要性，再利用放缩法证明充分性；
（3）由题意可知，恒成立，由可得，由集合分类进行验证可得的最大值.
【详解】（1）因为，且是递增的正整数数列，由题意可知.
（2）先证必要性：
因为，且成等差数列，所以，所以.
再证充分性：
因为是递增的正整数数列，，所以，
所以，
又因为，所以（），
故是等差数列.
（3）先证明恒成立.
假设存在，且为最小的正整数.
依题意，则，
又因为，故当时，不能等于任何子列所有项的和.
故假设不成立，即恒成立.
因此，即，所以.
因为，则，
若时，则当时，不能等于任何子列所有项的和.
故，即.
此时可构造集合.
当时，可以等于集合中若干个元素的和；
当时，可以等于集合中若干个元素的和；
当时，可以等于集合中若干个元素的和；
当时，可以等于集合中若干个元素的和；
当时，可以等于集合中若干个元素的和；
所以当取最小值时，的最大值为1010.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式，综合了充要条件，数列最值等问题，难度较大，综合性较强，充分理解题意是求解的关键，侧重考查学生的创新能力.