【数学】2021届一轮复习人教A版（理）选修4-4坐标系与参数方程作业 9页

选修 4 - 4　坐标系与参数方程 1.[2020 湖南师大附中高三摸底考试]在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为{푥 = cos휃, 푦 = sin휃 (θ 为参 数),直线 l 的参数方程为{푥 = ― 2 + 24 13푡, 푦 = 10 13푡 (t 为参数),点 P 的坐标为( - 2,0). (1)若点 Q 在曲线 C 上运动,点 M 在线段 PQ 上运动,且푃푀=2푀푄,求动点 M 的轨迹方程. (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值. 2.[2020 陕西省部分学校摸底检测]在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为{푥 = 2 2 푡, 푦 = 1 + 2 2 푡 (t 为参数).以 原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 2cos(θ - π 4). (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程. (2)设直线 l 上的定点 P 在曲线 C 外,且到 C 上的点的最短距离为 5 ― 2,试求点 P 的坐标. 3.[2020 广州高三二测]在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为{푥 = 2 + 푡cos훼, 푦 = 3 + 푡sin훼(t 为参 数).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2=2ρcos θ+8. (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程. (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|AB|=4 2,求直线 l 的倾斜角. 4.[2019 福建五校第二次联考]在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为{푥 = 1 ― 3푡, 푦 = 1 + 푡 (t 为参数).在以 原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. (1)求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程. (2)若直线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点,求∠POQ. 5.[2020 湖北部分重点中学高三测试]在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:x+y=1 与曲线 C2: {푥 = 2 + 2cos휑, 푦 = 2sin휑 (φ 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线 C1,C2 的极坐标方程. (2)在极坐标系中,已知 l:θ=α(ρ>0)与 C1,C2 的公共点分别为 A,B,α∈(0, π 2),当 |푂퐵| |푂퐴|=4 时,求 α 的值. 6.[2019 广东六校第一次联考]在平面直角坐标系中,将曲线 C1 向左平移 2 个单位长度,再将得到的曲线上的 每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的 1 2,得到曲线 C2,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. (1)求曲线 C2 的参数方程. (2)已知点 M 在第一象限,四边形 MNPQ 是曲线 C2 的内接矩形,求内接矩形 MNPQ 周长的最大值,并求周长 最大时点 M 的坐标. 7.[2019 唐山市高三摸底考试]在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ2 - 2 2ρsin(θ+ π 4) - 4=0,以极点 O 为原点,极 轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy,直线 l:{푥 = 푡cos훼, 푦 = 푡sin훼 (t 为参数,0≤α<π). (1)求曲线 C 的直角坐标方程. (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求||OA| - |OB||的取值范围. 8.[2019 广东百校联考]在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为{푥 = 5cos훼, 푦 = 5 + 5sin훼(α 为参数).M 是曲线 C1 上异于点 O 的动点,将线段 OM 绕 O 点顺时针旋转 90°得到线段 ON,设点 N 的轨迹为曲线 C2.以坐标原 点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程. (2)在(1)的条件下,若射线 θ= π 3(ρ≥0)与曲线 C1,C2 分别交于 A,B 两点(除极点外),且有定点 T(4,0),求△TAB 的 面积. 9.[2020 四省名校高三第一次联考][新定义题]在极坐标系中,方程为 ρ=2sin 2θ 的曲线为如图 1 所示的“幸运 四叶草”,该曲线又被称为玫瑰线. (1)当玫瑰线的 θ∈[0, π 2]时,求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标. (2)求曲线 ρ= 2 2 sin(휃 + π 4) 上的点 M 与玫瑰线上的点 N 距离的最小值及取得最小值时的点 M,N 的极坐标(不必写 详细解题过程). 图 1 10.[2020 石家庄市重点高中高三摸底测试][新角度题]已知曲线 C 的参数方程为{푥 = cos휃, 푦 = sin휃 (θ 为参 数),A(2,0),P 为曲线 C 上的一个动点. (1)求动点 P 对应的参数从 π 3变动到 2π 3 时,线段 AP 所扫过的图形的面积. (2)若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q,是否存在点 P,使得 P 为线段 AQ 的中点?若存在,求出点 P 的直 角坐标;若不存在,请说明理由. 选修 4 - 4 坐标系与参数方程 1.(1)设 Q(cos θ,sin θ),M(x,y), 则由푃푀=2푀푄,得(x+2,y)=2(cos θ - x,sin θ - y), 即{3푥 + 2 = 2cos휃　 ①, 3푦 = 2sin휃　 ②. 由①和②得(3x+2)2+(3y)2=4,即(x+ 2 3)2+y2= 4 9,所以动点 M 的轨迹方程为(x+ 2 3)2+y2= 4 9. (2)易知曲线 C 的普通方程为 x2+y2=1,直线 l 的普通方程为 y= 5 12(x+2), 设 α 为直线 l 的倾斜角,则 tan α= 5 12,sin α= 5 13,cos α= 12 13, 则直线 l 的参数方程可设为{푥 = - 2 + 12 13푡', 푦 = 5 13푡' (t'为参数), 代入曲线 C 的普通方程,得 t'2 - 48 13t'+3=0, Δ=( - 48 13)2 - 12= 276 169>0, 设点 A,B 对应的参数分别为 t'1,t'2, 则|PA|·|PB|=|t'1|·|t'2|=|t'1t'2|=3. 2.(1)由{푥 = 2 2 푡, 푦 = 1 + 2 2 푡 消去参数 t,得 y=x+1, 即直线 l 的普通方程为 x - y+1=0. 因为 ρ=2 2cos(θ - π 4),所以 ρ2=2 2ρ(cos θ+sin θ)· 2 2 =2ρ(cos θ+sin θ), 又 x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,所以 x2+y2=2x+2y, 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x - 1)2+(y - 1)2=2. (2)解法一　设 Q(1,1),由(x - 1)2+(y - 1)2=2 知,曲线 C 是以 Q 为圆心, 2为半径的圆. 设点 P 的坐标为( 2 2 t,1+ 2 2 t),则点 P 到曲线 C 上的点的最短距离为|PQ| - 2,又|PQ| - 2 = 5 ― 2,即|PQ|= 5, 所以 ( 2 2 푡 - 1)2 + ( 2 2 푡)2 = 5, 整理得 t2 - 2t - 4=0,解得 t1= - 2,t2=2 2, 所以点 P 的坐标为( - 1,0)或(2,3). 解法二　设 Q(1,1),由(x - 1)2+(y - 1)2=2 知,曲线 C 是以 Q 为圆心, 2为半径的圆. 设点 P 的坐标为(x,x+1),则点 P 到曲线 C 上的点的最短距离为|PQ| - 2,又|PQ| - 2 = 5 ― 2,即 |PQ|= 5, 所以 (푥 - 1)2 + 푥2 = 5,整理得 x2 - x - 2=0,解得 x1= - 1,x2=2,所以点 P 的坐标为( - 1,0)或(2,3). 3.(1)解法一　因为直线 l 的参数方程为{푥 = 2 + 푡cos훼, 푦 = 3 + 푡sin훼(t 为参数),所以当 α= π 2时,直线 l 的普通方程为 x=2; 当 α≠ π 2时,直线 l 的普通方程为 y - 3=(x - 2)tan α. 将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入 ρ2=2ρcos θ+8,得 x2+y2=2x+8. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2 - 2x - 8=0. 解法二　直线 l 的参数方程为{푥 = 2 + 푡cos훼, 푦 = 3 + 푡sin훼(t 为参数), 则有{푥sin훼 = 2sin훼 + 푡sin훼cos훼, 푦cos훼 = 3cos훼 + 푡sin훼cos훼, 所以直线 l 的普通方程为 xsin α - ycos α - (2sin α - 3cos α)=0. 将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入 ρ2=2ρcos θ+8,得 x2+y2=2x+8. 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2 - 2x - 8=0. (2)解法一　曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2 - 2x - 8=0, 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程并整理,得 t2+(2 3sin α+2cos α)t - 5=0　①. 因为 Δ=(2 3sin α+2cos α)2+20>0,所以可设①的两个根分别为 t1,t2,则 t1+t2= - (2 3sin α+2cos α),t1t2= - 5. 所以|AB|=|t1 - t2| = (푡1 + 푡2)2 - 4푡1푡2 = [ - (2 3sin훼 + 2cos훼)]2 + 20 =4 2, 整理得( 3sin α+cos α)2=3, 故 2sin(α+ π 6)=± 3. 因为 0≤α<π,所以 π 6≤α+ π 6 < 7π 6 ,所以 α+ π 6 = π 3或 α+ π 6 = 2π 3 ,解得 α= π 6或 α= π 2. 所以直线 l 的倾斜角为 π 6或 π 2. 解法二　由(1)得曲线 C 是以 C(1,0)为圆心,3 为半径的圆.直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且|AB|=4 2, 故圆心 C(1,0)到直线 l 的距离 d= 32 - (4 2 2 )2=1. ①当 α= π 2时,直线 l 的方程为 x=2,符合题意. ②当 α∈[0, π 2)∪( π 2,π)时,直线 l 的方程为 xtan α - y+ 3 - 2tan α=0,所以 d= |tan훼 - 0 + 3 - 2tan훼| 1 + tan2훼 =1, 整理得| 3 - tan α|= 1 + tan2훼,解得 α= π 6. 综上所述,直线 l 的倾斜角为 π 6或 π 2. 4.(1)由{푥 = 1 - 3푡, 푦 = 1 + 푡 得直线 l 的普通方程为 x+ 3y=1+ 3, 又{푥 = 휌cos휃, 푦 = 휌sin휃,所以直线 l 的极坐标方程为 ρ(cos θ+ 3sin θ)=1+ 3(或 2ρsin(θ+ π 6)=1+ 3). 由 ρ=2cos θ 得 ρ2=2ρcos θ,即 x2+y2=2x, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2 - 2x=0. (2)解法一　设 P,Q 的极坐标分别为(ρ1,θ1),(ρ2,θ2), 则∠POQ=|θ1 - θ2|, 由{휌(cos휃 + 3sin휃) = 1 + 3, 휌 = 2cos휃 消去 ρ 得 2cos θ(cos θ+ 3sin θ)=1+ 3, 化简得 cos 2θ+ 3sin 2θ= 3,即 sin(2θ+ π 6)= 3 2 , 因为 θ∈( - π 2, π 2],所以 2θ+ π 6∈( - 5π 6 , 7π 6 ],所以 2θ+ π 6 = π 3或 2θ+ π 6 = 2π 3 , 即{휃1 = π 12, 휃2 = π 4 或{휃1 = π 4, 휃2 = π 12,所以∠POQ=|θ1 - θ2|= π 6. 解法二　曲线 C 的方程可化为(x - 1)2+y2=1,表示圆心为 C(1,0)且半径为 1 的圆. 将直线 l 的参数方程化成标准形式,为{푥 = 1 - 3 2 푡', 푦 = 1 + 1 2푡' (其中 t'为参数),代入曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2 - 2x=0 得,(1 - 3 2 t')2+(1+ 1 2t')2 - 2(1 - 3 2 t')=0,整理得,t'2+t'=0,解得 t'=0 或 t'= - 1. 设 P,Q 对应的参数分别为 t'1,t'2,则|PQ|=|t'1 - t'2|=1.所以△PCQ 是等边三角形,所以∠PCQ= π 3,又 O 是圆 C 上的 点,所以∠POQ= ∠푃퐶푄 2 = π 6. 解法三　曲线 C 的方程可化为(x - 1)2+y2=1,表示圆心为 C(1,0)且半径为 1 的圆. 由(1)得直线 l 的普通方程为 x+ 3y - (1+ 3)=0,则圆心到直线 l 的距离 d= 3 2 , 所以|PQ|=2 1 - 푑2=1,所以△PCQ 是等边三角形,所以∠PCQ= π 3, 又 O 是圆 C 上的点,所以∠POQ= ∠푃퐶푄 2 = π 6. 5.(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ - 1=0. 曲线 C2 化为普通方程为(x - 2)2+y2=4,即 x2 - 4x+y2=0, 因为 x=ρcos θ,x2+y2=ρ2,所以曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. (2)设点 A,B 的极坐标分别为(ρ1,α)和(ρ2,α),ρ1>0,ρ2>0, 因为点 A 在曲线 C1 上,所以 ρ1cos α+ρ1sin α - 1=0,则 ρ1= 1 cos훼 + sin훼. 因为点 B 在曲线 C2 上,所以 ρ2=4cos α. 由极坐标的几何意义知, |푂퐵| |푂퐴| = 휌2 휌1 = 4cos훼 1 cos훼 + sin훼 =4, 所以 cos α(cos α+sin α)=1,即 cos2α+cos αsin α=1,则 cos αsin α=sin2α, 又 α∈(0, π 2),所以 sin α≠0,则 cos α=sin α,所以 α= π 4. 6.(1)由 ρ=4cos θ 得曲线 C1 的直角坐标方程为(x - 2)2+y2=4, 经过变换后的曲线对应的方程为 푥2 4 +y2=1,即曲线 C2 的普通方程,则曲线 C2 的参数方程为{푥 = 2cos훼, 푦 = sin훼 (α 为参 数). (2)设四边形 MNPQ 的周长为 l,点 M(2cos α,sin α)(0<α< π 2), 则 l=8cos α+4sin α=4 5( 2 5cos α+ 1 5sin α)=4 5sin(α+φ),其中 cos φ= 1 5 = 5 5 ,sin φ= 2 5 = 2 5 5 . ∵0<α< π 2,∴φ<α+φ< π 2+φ,∴sin( π 2+φ)