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- 2021-04-28 发布
专题一 集合与简易逻辑
考向一 集合的运算
1.讲高考
（1）考纲要求
理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合．
（2）命题规律
集合的概念与运算是历年来必考内容之一，题型主要以填空题（在正卷中）或解答题（在附加卷中）的形式出现，集合在高考中主要考查三方面内容：一是考查集合的概念、集合间的关系；二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识；三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.
另外，集合往往被用来做考察其他知识的载体，如与数学归纳法整合放置在附加题中，也可以与数列整合，放置在压轴题的位置．预测2018年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题难度较为基础．试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查．
【例1】【江苏省常熟市2018届高三上学期期中考试数学试题】已知集合， ， ，则__________．
【答案】
【解析】∵， ，∴，又,∴
【考点定位】本题考查集合的运算，子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.
【名师点睛】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.
【例2】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考数学试题】已知集合
，集合，则_____．．
【答案】
【考点定位】集合的基本运算.
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
2.讲基础
集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．
(2)集合的运算：
①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
③补集：＝{x|x∈U，且xA}．
(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．
(4)需要特别注意的运算性质和结论．
①A∪＝A，A∩＝；
②A∩()＝，A∪()＝U.
A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
3.讲典例
【例1】【2017-2018第一学期江苏省东台安丰中学高三数学第一次月考试卷（文）】已知函数的值域为，函数的定义域为．
（1）若，求实数的取值范围；
（2），求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】∵，∴，函数的值域为，故。由得，所以函数的定义域为，故。
（1）∵，∴，解得。故实数的取值范围为。
（2）∵，∴，∴，解得。
故实数的取值范围为。学#科网
考点：集合的运算
【趁热打铁】已知集合全集，，，＝ ．
【答案】
【解析】∵，∴，∴．
【例2】设集合，，则
【答案】
【解析】，，所以．
【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．
【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“”和要注意对数的真数大于，否则很容易出现错误．
【趁热打铁】记函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围．
【答案】；（2）.
4.讲方法
在进行集合的交、并、补运算中可依据元素的不同属性采用不同的方法求解,常用到的技巧有:
(1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解；
(4)注意转化关系(A)∩B=B⇔B⊆A,A∪B=B⇔A⊆B,
(A∩B)=(A)∪(B), (A∪B)=(A)∩(B)等.
注意两个问题:
(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．
(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．
5.讲易错
【题目】已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.
错解:∵x2-3x-10≤0,∴-2≤x≤5,∴A={x|-2≤x≤5}.由A∪B=A知BA,∴即-3≤m≤3.
∴m的取值范围是-3≤m≤3.
【错因】忽视空集而致误
【正解】∵A∪B=A,∴BA.∵A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},
①若B=,则m+1>2m-1,即m<2,故m<2时,A∪B=A;
②若B≠,如图所示,
则m+1≤2m-1,即m≥2.由BA得解得-3≤m≤3.又∵m≥2,∴2≤m≤3.
由①②知,当m≤3时,A∪B=A.
反思提高：造成本题失误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现AB,A∩B=A,A∪B=B时,注意对A进行分类讨论,即分为A=和A≠两种情况讨论.
误区警示：1．认清集合元素的属性及元素所代表的意义．
2．注意集合中的限制条件(如x∈Z)．
考向二 简易逻辑
1.讲高考
（1）考纲要求
①理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.
②学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.
（2）命题规律
常用逻辑用语的考查一般以一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大．
【例1】【江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是____．
【答案】
【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件.
【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含参数的
一元二次不等式解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题
【例2】【苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】已知命题，则的否定为__________．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【答案】
【解析】否命题是把原命题中的结论加以否定，同时把全称量词与存在量词相互转化，故:．学@科网
【考点定位】本题主要考查全称命题的否定
【名师点睛】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.
2.讲基础
(1)四种命题
①用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.
②四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．
(2)充要条件[来源:学+科+网Z+X+X+K]
①若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．[来源:学。科。网]
②若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
③若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
(3)简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．
(4)全称量词与存在量词
①全称命题p：∀x∈M，p(x)．
它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．
②特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)．
它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).
3.讲典例
【例1】 “”是“”的 条件. （在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填）
【答案】充分不必要
【考点定位】充分必要条件.
【名师点睛】本题把充分必要条件与对数不等式结合在一起，既考查了对数函数的性质，又考查了充分必要条件的判断，从本题可知我们可能用集合的观点看充分条件、必要条件：A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，(1)如果AB，那么p是q的充分不必要条件；(2)如果BA，那么p是q的必要不充分条件；(3)如果A＝B，那么p是q的充要条件；(4)如果，且，那么p是q的既不充分也不必要条件．本题易错点在于解对数不等式时没有考虑对数的定义域.
【趁热打铁】设，则是的 条件．（在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填）
【答案】充分不必要
考点：充要条件
【例2】【内蒙古集宁一中2016-2017学年高二下学期期末考试试题（东校区）数学（理）试题】已知函数
.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】由题意，解得．
考点：命题的真假的应用．
【趁热打铁】【河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学（理）试题】下列说法中错误的是__________（填序号）.
①命题“，有”的否定是“，有”；
②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；
③已知，若为真命题，则实数的取值范围是
；
④“”是“”成立的充分条件.
【答案】①③④
【解析】因为命题“，有”的否定是
“，有”，所以命题①不正确；由于一个命题的逆命题与否命题是等价命题，而且同真假，故命题②是正确的；由于不等式的解集是或，不等式的解集是，故 或，所以若为真命题，则实数的取值范围是，故答案③不正确；由于，但，故命题④不正确，应填答案①③④。学#科网
考点：命题真假的判定、命题的否定、复合命题的真假的判定、充分必要条件的判定
4.讲方法
(1)命题真假的判定方法:
①一般命题p的真假由涉及的相关知识进行辨别;
②四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,它的逆命题跟否命题同真假;
③形如p∨q,p∧q,p命题的真假根据真值表判定;
④全称命题与特称命题的否定:全称命题,其否定形式是;特称命题,其否定形式是.
(2)常见词语的否定形式有:
原词语
是
都是
至少有一个
至多有一个
>[来源:Zxxk.Com]
否定形式
不是
不都是
一个也没有
至少有两个
≤
(2) 充分条件、必要条件的判断方法:先判断与是否成立,然后再确定p是q的什么条件.
(3)对于充分条件、必要条件的判断要注意以下几点:
①要弄清先后顺序:“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.
②要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以尝试通过举出恰当的反例来说明.
③要注意转化:若p是q的必要不充分条件,则p是q的充分不必要条件;若p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.
④要善于利用集合间的包含关系判断:若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
5.讲易错
【题目】设,则“”是“”的 条件．（在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填）
错解:填充分而不必要．
【错因】充分必要条件的概念混淆不清。
【正解】若，则，但当时也有，故本题填“必要而不充分”．
误区警示：1．区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．
2．p或q的否定：¬p且¬q；p且q的否定：¬p或¬q.
3．“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.