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- 2021-04-28 发布
第3讲 函数的奇偶性与周期性
最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是( )
A.y＝ B.y＝ex
C.y＝cos x D.y＝ex－e－x
解析 A，B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.
D中函数定义域为R，又f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数.
答案 D
3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A.－ B. C. D.－
解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.
答案 B
4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.
解析 ∵f(x)的周期为2，∴f＝f，
又∵当－1≤x<0时，f(x)＝－4x2＋2，
∴f＝f＝－4×＋2＝1.
答案 1
5.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.
答案 3
6.(2017·湖州调研)设a>0且a≠1，函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，g(f(2))＝________.
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a0＋1－2＝0，∴a＝2；当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(2－x＋1－2)＝2－2－x＋1，即g(x)＝2－2－x＋1，∴f(x)＝f(2)＝2－2－2＋1＝2－＝>0，
∴g(f(2))＝g＝2－2－＋1＝2－2－＝2－.
答案 2 2－
考点一 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
【训练1】 (1)(2017·杭州质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x
C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x
(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析 (1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；
|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.
答案 (1)D (2)C
考点二 函数奇偶性的应用
【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析 (1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
答案 (1)C (2)1
规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.
【训练2】 (1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.
解析 (1)易知f(－x)＝＝，
由f(－x)＝－f(x)，得＝－，
即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，
f(x)＝，由f(x)>3，得00，∴f(－x)＝x2＋4x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
则f(x)＝－x2－4x(x<0)，
∴f(x)＝
答案 (1)C (2)
考点三 函数的周期性及其应用
【例3】 (2016·四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0时，f＝f.则f(6)＝( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A.[1，2] B.
C. D.(0，2]
解析 (1)当x>时，由f(x＋)＝f(x－)，
得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，
又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2.
因此f(6)＝－f(－1)＝2.
(2)由y＝f(x)为偶函数，且f(log2a)＋f(loga)≤2f(1).
∴f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，
又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴|log2a|≤1⇔－1≤log2a≤1.解得≤a≤2.
答案 (1)D (2)C
规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【训练4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为( )
A.－1 B.1 C.0 D.2
(2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.
则M＋m＝________.
解析 (1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.
(2)f(x)＝＝1＋，
令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
故M＋m＝2.
答案 (1)C (2)2
[思想方法]
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
[易错防范]
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.