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- 2021-04-28 发布
中考数学专题圆的位置关系
第一部分 真题精讲
【例1】已知:如图,AB为⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC于点E.(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若DE=2,tanC=,求⊙O的直径.
【例2】已知:如图,⊙O为的外接圆,为⊙O的直径,作射线,使得平分,过点作于点.(1)求证:为⊙O的切线;(2)若,,求⊙O的半径.
【例3】已知:如图,点是⊙的直径延长线上一点,点 在⊙上,且
(1)求证:是⊙的切线;
(2)若点是劣弧上一点,与相交 于点,且,,求⊙的半径长.
【例4】如图,等腰三角形中,,.以为直径作⊙O交于点,交于点,,垂足为,交的延长线于点.
(1)求证:直线是⊙O的切线;
(2)求的值.
【例5】如图,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径的圆交AD于F,交BC于G,延长BA交圆于E.
(1)若ED与⊙A相切,试判断GD与⊙A的位置关系,并证明你的结论;
(2)在(1)的条件不变的情况下,若GC=CD=5,求AD的长.
第二部分 发散思考
【思考1】如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长.
【思路分析】此题为去年海淀一模题,虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低.
因为题目中没有给出有关圆心的任何线段,所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的,延长DB就会得到一个和C一样的圆周角,利用角度关系,就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题,利用相等的角建立相等的比例关系,从而求解。
【思考2】已知:AB为⊙O的弦,过点O作AB的平行线,交 ⊙O于点C,直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径等于4,,求CD的长.
【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件,去将他们放在RT三角形中找出相等,互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。
【思考3】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,cosC=时,求⊙O的半径.
【思路分析】这是一道去年北京中考的原题,有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定,等腰三角形性质以及解直角三角形,也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法,和我们前面看到的那些题是一个意思。
【思考4】如图,等腰△ABC中,AC=BC,⊙O为△ABC的外接圆,
D为上一点, CE⊥AD于E.
求证:AE= BD +DE.
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题,但是未必所有的圆问题都和切线有关,去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有,那么就需要自己去截一段,然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E,CF⊥AB于F,且CE=CF.
(1) 求证:DE是⊙O的切线;
(2) 若AB=6,BD=3,求AE和BC的长.
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件,但是通过给定CE=CF,加上有一个公共边,那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段,并且利用和,差等关系去转化。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
1)证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.
∴ ∠EAB+∠E=90°.
∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD,
∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
∴ AD是⊙O的切线.
(2)解:由(1)可知∠ABE=90°.
∵ AE=2AO=6, AB=4,
∴ . ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴
∴
∴ .
【思考2解析】
解:(1)直线BD与⊙O相切.
证明:如图3,连结OB.-
∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ,∠1=∠D,
∴ ∠2=∠CBD.
∵ AB∥OC ,
∴ ∠2=∠A .
∴ ∠A=∠CBD.
∵ OB=OC,
∴ ,
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ ∠OBD=90°.
∴ 直线BD与⊙O相切.
(2)解:∵ ∠D=∠ACB ,,
∴ .
在Rt△OBD中,∠OBD=90°,OB = 4,,
∴ ,.
∴ .
【思考3解析】
O
B
G
E
C
M
A
F
1
2
3
1)证明:连结,则.
∴.
∵平分.
∴.
∴.
∴.
∴.
在中,,是角平分线,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴与相切.
(2)解:在中,,是角平分线,
∴.
∵,
∴.
在中,,
∴.
设的半径为,则.
∵,
∴.
∴.
∴.
解得.
∴的半径为.
【思考4解析】
证明:如图3,在AE上截取AF=BD,连结CF、CD.
在△ACF和△BCD中,
∴ △ACF≌△BCD.
∴ CF=CD.
∵ CE⊥AD于E,
∴ EF=DE.
∴ .
【思考5解析】
证明:(1)连接OC,
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