2020年北京高考数学猜题卷（一）（Word版附解析） 14页

2020 年北京高考数学猜题卷（一） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 复数 ( )2i i- 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】因为   22 2 1 2i i i i i     ， 所以对应的点位于第一象限. 故选：A 2. 已知集合    21,0,1,2 1A B x x，    ，则 A∩B=（ ） A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 【答案】A 【解析】 2 1,x   1 1x   ， ∴  1 1B x x    ，则  1,0,1A B   ， 故选 A． 3. 若偶函数 f(x)在区间(－∞,－1]上是增函数，则( ) A. 3 ( 1) (2)2f f f       B. 3( 1) (2)2f f f       C. 3(2) ( 1) 2f f f        D. 3(2) ( 1)2f f f       【答案】D 【解析】函数  f x 为偶函数,则    2 2f f  . 又函数  f x 在区间 ( 1] ， 上是增函数. 则    32 12f f f        ，即    32 12f f f       故选：D 4. 函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 , ( ) 2 sin 2( ) 2 sin 2 ( )x xx R f x x x f x        ，所以 | |( ) 2 sin 2xf x x 为奇函数，排除选项 A,B; 因为 π( ,π)2x 时， ( ) 0f x  ，所以排除选项 C，选 D. 5. 从点 ( ,3)P m 向圆 2 2( 2) ( 2) 1x y    引切线，则切线长的最小值( ) A. 2 6 B. 5 C. 26 D. 4 2 【答案】A 【解析】设切线长为 d ,则 2 2 2 2( 2) 5 1 ( 2) 24d m m       , min 2 6d  . 故选:A. 6. 已知函数    sinf x A x   的部分图象如图所示，那么函数 f(x)的解析式可以是 （ ） A.   sin 2 8f x x      B.   2 sin 2 8f x x      C.   2 sin 2 4f x x     D.   2sin 2 4f x x      【答案】C 【解析】由图象得 2A  ， 5 2 8 8 2 T      ， 2 | |T    ， 2( 0)    ，  ( ) 2 sin(2 )f x x   ， 由题得 3( ) 2,8f   所以 3 3 32 sin(2 )= 2, sin( ) 1, 2 , .8 4 4 2k k Z                当 0k  时， 4    . 所以   2 sin 2 4f x x      . 故选：C ． 7. 一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为 20 5 ，则该几何体的外接球的 表面积为（ ） A. 36π B. 64π C. 81π D. 100π 【答案】C 【解析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体， 如图所示： 该四棱锥的底面是长方形，长为 6，宽为 5， 四棱锥的高即为 PD 所以 1 5 6 20 53V h     ， 解得 2 5h  ． 设四棱锥的外接球的半径为 r， 所以   22 2 22 5 6 2 5r    ， 解得 9 2r  ， 所以 294 812S       球 ， 故选：C 8. 已知点 ( 2,3)A  在抛物线 C： 2 2y px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率 为（ ） A． 4 3  B． 1 C． 3 4  D． 1 2  【答案】C 【解析】由已知得，抛物线 2 2y px 的准线方程为 2 px   ，且过点 ( 2,3)A  ，故 22 p   ， 则 4p  ， (2,0)F ，则直线 AF 的斜率 3 0 3 2 2 4k     ，选 C． 9. 设非零向量 a  ，b  满足 3a b  ， 1cos , 3a b   ，   16a a b     ，则 b  （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 | | 3| |a b   ， 1cos , 3a b    . 2 2 2 2( ) 9 | | | | 8| | 16a a b a a b b b b                  ， | | 2b  . 故选：A 10. 如果集合 A，B，同时满足 A∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有 序集对（A，B）为“好集对”．这里有序集对（A，B）意指，当 A≠B 时，（A，B）和（B， A）是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】解：∵A∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}，A≠{1}，B≠{1}， ∴当 A={1，2}时，B={1，3，4}． 当 A={1，3}时，B={1，2，4}． 当 A={1，4}时，B={1，2，3}． 当 A={1，2，3}时，B={1，4}． 当 A={1，2，4}时，B={1，3}． 当 A={1，3，4}时，B={1，2}． 故满足条件的“好集对”一共有 6 个． 方法 2：∵A∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}， ∴将 2，3，4 分为两组，则有 1 2 3 3C C =3+3=6 种， 故选 B． 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 设函数 3 2( )f x x ax  ，若曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))P f 处的切线方程为 0x y  ， 则实数 a=_______． 【答案】－2 【解析】根据切点在切线上，得出 (1) 1f   ，根据解析式即可得出答案. 【详解】因为点 (1, (1))P f 在该切线上，所以 (1) 1f   则 (1) 1 1f a    ，解得 2a   . 故答案为: 2 12．函数 2cos2 siny x x  的最小正周期等于_____. 【答案】 π 【解析】因为函数 2 1 cos2 3 1cos2 sin cos2 cos22 2 2 xy x x x x      故最小正周期等于 π . 故答案为： π 13. 8 4 1( ) 2 x x  的展开式中的有理项共有__________项． 【答案】3 【解析】 348 4 1 8 84 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 rr r r r r r rT C x C x x      ， 0,1,2, ,8r   ，因为有理项， 所以 0,4,8r  ，共三项．填 3. 14. 在 △ ABC 中， 6A  ，A 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，若 2AB  ， 6AC  ，则 AD=______. 【答案】 3 【解析】 在 △ ABC 中，由余弦定理得 2 32 6 2 2 6 2, 2=2BC BC AB         . 所以 2 6 3C B  ， .所以 4ADB   . 在 △ ABD 中，由正弦定理得 2 , 3 3 2 2 2 AD AD   . 故答案为： 3 . 15. 平面直角坐标系中，若 x 与 y 都是整数，就称点 ( , )x y 为整点，下列命题正确的是_______ ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与b 都是无理数，则直线 y kx b  不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点 ④直线 y kx b  经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤ 【解析】①正确，令 1 2y x  满足①； ②错误，若 2, 2k b  ， 2 2y x  过整点（－1,0）； ③正确，设 y kx 是过原点的直线，若此直线过两个整点 1 1 2 2( , ),( , )x y x y ，则有 1 1y kx ， 2 2y kx ，两式相减得 1 2 1 2( )y y k x x   ，则点 1 2 1 2( , )x x y y  也在直线 y kx 上，通 过这种方法可以得到直线l 经过无穷多个整点，通过上下平移 y kx 得对于 y kx b  也成 立； ④错误，当 k 与b 都是有理数时，令 1 2y x  显然不过任何整点； ⑤正确. 如：直线 2y x 恰过一个整点 故答案为：①③⑤ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 1 1 4 3 3n nS a   ， 1 4a  . （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 2logn nb a ，求数列 1 1 n nb b        的前 n 项和 Tn. 【答案】（1） 4n na  ；（2） 4( 1)n nT n   【解析】 （1）由题知，当 2n  时， 1 1 4 3 3n nS a   ，又 1 1 4 3 3n nS a   ， 两式相减可得 1 1 1 3 3n n na a a  ，即 1 4n na a  ， 当 1n  时，可得 2 1 44 3 3a  ，解得 2 16a  ，则  4 2,n na n n N   ， 当 1n  时，满足 4n na  ， 数列 na 的通项公式为 4n na  ， n N . （2） 2 2log log 4 2n n nb a n   ， 1 1 1 1 1 1 2 2( 1) 4 1n nb b n n n n          ， 1 1 1 1 1 1 1 11 14 2 2 3 1 4 1 4( 1)n nT n n n n                      . 17. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AP⊥平面 PCD， //AD BC ， AB BC ， 1 2AP AB BC AD   ，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O. （1）证明：PO⊥平面 ABCD. （2）求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 22 11 【解析】（1）证明： AP  平面 PCD， CD  平面 PCD ， AP CD  ， // ,AD BC 1 2BC AD ， E 为 AD 的中点，则 //BC DE 且 BC DE . 四边形 BCDE 为平行四边形， //BE CD ， AP BE  . 又 ,AB BC 1 2AB BC AD  ，且 E 为 AD 的中点， 四边形 ABCE 为正方形， BE AC  ，又 ,AP AC A BE  平面 APC ， PO  平面 APC ，则 BE PO . AP  平面 ,PCD PC  平面 PCD ， AP PC  ， 又 2 2AC AB AP  ， PAC 为等腰直角三角形，  O 为斜边 AC 上的中点， PO AC  且 ,AC BE O PO  平面 ABCD. （2）解：以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示 不妨设 1OB  ，则 (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P ( 2,1,0)D  , 则 ( 1,1,0),BC   (1,0, 1),PB   ( 2,1, 1)PD    . 设平面 PBD 的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 0 0 n PB n PD         ， ，即 0, 2 0, x z x y z       即 , 3 , x z y z    令 1z  ，得 (1,3,1)n  . 设 BC 与平面 PBD 所成角为 ， 则  22 2 2 2 1 1 3 1 0 1 22sin cos , 111 3 1 1 1 BC n                 . 18. “一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略 的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合 的新理念. 而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发 展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力 打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略. 在某月 中随机抽取甲、乙两个景点 10 天的游客数，统计得到茎叶图如下： （1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频 率作为概率.今从这段时期内任取 4 天，记其中游客数超过 130 人的天数为  ，求概率  2P   ； （2）现从上图 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天），记其中游客数 不低于 125 且不高于 135 人的天数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1） 513 625 ；（2） 1 2 【解析】（1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过 130 人的概率为 4 2 10 5  . 任取 4 天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有 次发生， 则随机变量 服从二项分布 24, 5B      ， ∴        2 0 1 2P P P P          0 4 3 2 2 0 1 2 4 4 4 2 3 2 3 2 3 513 5 5 5 5 5 5 625C C C                                  . （2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有 1 天，景点乙的数据中符合条件的有 4 天，所以在景点甲中被选出的概率为 1 10 ，在景点乙中被选出的概率为 2 5 . 由题意知 的所有可能的取值为 0、1、2， 则   9 3 270 10 5 50P      ；   1 3 9 2 211 +10 5 10 5 50P       ；   1 2 12 10 5 25P      . ∴ 的分布列为 ∴   27 21 1 10 1 250 50 25 2E         . 19. 已知函数 3( )f x x x   ． （1）求曲线 ( )y f x 在 2x  处的切线方程； （2）证明：曲线 ( )y f x 上任一点处的切线与直线 0x  和直线 y x 所围成的三角形面 积为定值，并求此定值． 【答案】（1） 7 34y x  （2）见解析 【解析】 （1） 3 1(2) 2 2 2f    2 3( ) 1f x x    ， 3 7(2) 1 4 4f     则曲线 ( )y f x 在 2x  处的切线方程为 1 7 ( 2)2 4y x   ，即 7 34y x  （ 2 ） 设 ( , )P m n 为 曲 线 ( )y f x 上 任 一 点 ， 由 （ 1 ） 知 过 点 P 的 切 线 方 程 为 2 31 ( )y n x mm        即 2 3 31 ( )y m x mm m               令 0x  ，得 6y m   令 y x ，得 2y x m  从而切线与直线 0x  的交点为 60, m     ，切线与直线 y x 的交点为 (2 ,2 )m m 点 ( , )P m n 处的切线与直线 0x  ，y x 所围成的三角形的面积 1 6 | 2 | 62S mm      ， 为定值. 20. 已知椭圆 M： 2 2 2 2 x y a b  =1（a>b>c）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为 2 2 .若直线 y=x+m 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B （I）求椭圆 M 的方程； （II）将 AB 表示为 m 的函数，并求 △ OAB 面积的最大值（O 为坐标原点） 【答案】（Ⅰ） 2 2 3 x y =1（II） 23 62AB m   ，（-20,即 2m <4 解得：-2