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- 2021-04-28 发布
中档大题分类练(五) 选考部分(选修4－4、选修4－5)
（建议用时：60分钟）
1．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．
[解] (1)C1的参数方程，消参得普通方程为x－y－a＋1＝0,
C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0两边同乘ρ得
ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，即y2＝4x;
(2)将曲线C1的参数方程(t为参数，a∈R)代入曲线C2：y2＝4x，得2t2－2t＋1－4a＝0，
由Δ＝(－2)2－4×2(1－4a)＞0，得a＞0，
设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|＝2|t2|即t1＝2t2或t1＝－2t2,
当t1＝2t2时，解得a＝，
当t1＝－2t2时，解得a＝，
综上：a＝或.
[选修4－5：不等式选讲]
已知∃x∈R，使不等式|x－1|－|x－2|≥t成立．
(1)求满足条件的实数t的集合T；
(2)若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．
[解] (1)令f(x)＝|x－1|－|x－2|＝
则－1≤f(x)≤1，
由于∃x∈R使不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，有t∈T＝{t|t≤1}.
(2)由(1)知，log3m·log3n≥1，
根据基本不等式log3m＋log3n≥2≥2，
从而mn≥32，当且仅当m＝n＝3时取等号，
再根据基本不等式m＋n≥2≥6，当且仅当m＝n＝3时取等号．
所以m＋n的最小值为6.
2．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：(θ为参数，θ∈[0，π])，将曲线C1经过伸缩变换：得到曲线C2.
(1)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求C2的极坐标方程；
(2)若直线l：(t为参数)与C1，C2相交于A，B两点，且|AB|＝－1，求α的值．
[解] (1)C1的普通方程为x2＋y2＝1(y≥0)，
把x＝x′，y＝y′代入上述方程得，x′2＋＝1(y′≥0)，
∴C2的方程为x2＋＝1(y≥0)，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴C2的极坐标方程为ρ2＝＝(θ∈[0，π])．
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，
由，得ρA＝1，由，得ρB＝＞1，
所以－1＝－1，∴cos α＝±，
而α∈[0，π]，∴α＝或.
[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|2x－a|，g(x)＝|bx＋1|.
(1)当b＝1时，若f(x)＋g(x)的最小值为3，求实数a的值；
(2)当b＝－1时，若不等式f(x)＋g(x)＜1的解集包含，求实数a
的取值范围．
[解] (1)当b＝1时，f(x)＋g(x)＝＋|x＋1|≥＝，
因为f(x)＋g(x)的最小值为3，所以＝3，解得a＝－8或4.
(2)当b＝－1时，f(x)＋g(x)＜1即|2x－a|＋|x－1|＜1，
当x∈时，|2x－a|＋|x－1|＜1⇔|2x－a|＋1－x≤1⇔|2x－a|＜x，即＜x＜a，
因为不等式f(x)＋g(x)＜1的解集包含，所以a＞1且＜，
即1＜a＜，故实数a的取值范围是.
3．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交点分别为A，B，点P(1,0)，求＋的值．
[解] (1)l：x＋y－1＝0，曲线C：x2＋y2－4x＝0；
(2)将(t为参数)代入曲线C的方程，得t2＋t－3＝0，
∴|t1－t2|＝＝，∴＋＝＝.
[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|.
(1)求函数f(x)的最小值m；
(2)若正实数a，b满足＋＝，求证：＋≥m.
[解] (1)|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，当且仅当－≤x≤时，等号成立，即函数f(x)最小值为2.
(2)·≥2，则＋≥2，
当且仅当b＝2a时，等号成立．
(教师备选)
1．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)，设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.
(1)求出曲线C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin＝4，点Q为曲线C1的动点，求点Q到直线C2的距离的最小值．
[解] (1)将l1，l2的参数方程转化为普通方程：
l1：y＝k(x＋)，①
l2：y＝(－x)，②
①×②消k可得：＋y2＝1，
因为k≠0，所以y≠0，所以C1的普通方程为＋y2＝1(y≠0)．
(2)直线C2的直角坐标方程为：x＋y－8＝0.
由(1)知曲线C1与直线C2无公共点，
由于C1的参数方程为(a为参数，a≠kπ，k∈Z)，
所以曲线C1上的点Q(cos a，sin a)到直线x＋y－8＝0的距离为：
d＝＝，
所以当sin＝1时，d的最小值为3.
[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x－a|(a∈R)．
(1)当a＝2时，解不等式＋f(x)≥1；
(2)设不等式＋f(x)≤x的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，
①当x≤时，原不等式可化为－3x＋1＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；
②当＜x＜2时，原不等式可化为3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2.
③当x≥2时，原不等式可化为3x－1－2＋x≥3，解得x≥，所以x≥2，
综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．
(2)不等式＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，
依题意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在上恒成立，
所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，在上恒成立，
即a－1≤x≤a＋1，所以
解得－≤a≤，故所求实数a的取值范围是.
2．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2的参数方程为(β为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；
(2)已知射线l1：θ＝α，将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ＝α－，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|·|OQ|的最大值．
[解] (1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，所以C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)设点P的极坐标为(ρ1，α)，
即ρ1＝4cos α，
点Q的极坐标为，
即ρ2＝4sin.
则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2
＝4cos α·4sin
＝16cos α·
＝8sin－4.
∵α∈，
∴2α－∈，
当2α－＝，即α＝时，|OP|·|OQ|取得最大值，为4.
[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝x|x－a|，a∈R.
(1)若f(1)＋f(－1)＞1，求a的取值范围；
(2)若a＞0，对∀x，y∈(－∞，a]，都有不等式f(x)≤＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)f(1)＋f(－1)＝|1－a|－|1＋a|＞1,
若a≤－1，则1－a＋1＋a＞1，得2＞1，即a≤－1时恒成立，
若－1＜a＜1，则1－a－(1＋a)＞1，得a＜－，即－1＜a＜－，
若a≥1，则－(1－a)－(1＋a)＞1，得－2＞1，即不等式无解，
综上所述，a的取值范围是.
(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需f(x)max≤min，
当x∈(－∞，a]时，f(x)＝－x2＋ax，f(x)max＝f＝，
因为＋|y－a|≥，
所以当y∈时，min＝＝a＋，
即≤a＋，解得－1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是(0,5]．
3．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
[解] (1)将方程消去参数a得x2＋y2－4x－12＝0，
∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0,
将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，
∴曲线C的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ－12＝0.
(2)设A，B两点的极坐标方程分别为，，
由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，
根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，
∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，
∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.
[选修4－5：不等式选讲]
已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2.
[解] (1)因为x＋y＋z≥3＞0，＋＋≥＞0，
所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，此时＋＋取得最小值3.
(2)证明：x2＋y2＋z2＝
≥
＝＝3.