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- 2021-04-28 发布
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江苏省清江中学2019-2020学年度第一学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由集合A＝{1，a }，B＝{2，3，4}，A∩B＝{3}，求出a＝3，由此能求出A∪B的值．
【详解】∵集合A＝{1，a }，B＝{2，3，4}，A∩B＝{3}，
∴a＝3，
∴A∪B＝{1，2，3，4}．
故选：A．
【点睛】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.已知a=0.42，b=20.4，c=log0.42，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a>b>c B. b>c>a C. b>a>c D. c>b>a
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数函数的性质，可得，根据对数函数的性质，可得，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，
由对数函数的性质，可得，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）
【答案】B
【解析】
试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B。
考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用。
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。
4.函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D. 和
【答案】D
【解析】
分析】
利用f（x）与y的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）的图像是由y的图像向下平移一个单位得到的，∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y的单调性相同，
而函数y的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），
∴函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于基础题．
5.下列函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A. ，；
B ，；
C. ，；
D. ，.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【详解】对于A，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
与g（x）的定义域不同，不是同一函数；
对于B，函数f（x）＝x2+x﹣1（t∈R），与g（t）＝h2+h﹣1（t∈R）的定义域相同，
对应关系也相同，是同一函数；
对于C，函数f（x）＝x﹣1（x∈R），与g（x）＝x﹣1（x∈N）的定义域不同，不是同一函数；
对于D，函数f（x）＝lnx（x﹣1）（x＜0或x＞1），与g（x）＝lnx+ln（x﹣1）＝lnx（x﹣1）（x＞1）的定义域不同，不是同一函数．
故选：B．
【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
6.利用二分法求的零点，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由于要找第二次求得的近似解所在的区间，只需把x＝1，
，2代入函数解析式，分析函数值的符号是否异号即可．
【详解】令f（x）＝x2﹣2，
所以f（1）＝﹣1＜0， f（）=＞0，
f（2）＝2>0
所以第二次求得的近似解所在的区间应该是（）.
故选：C．
【点睛】此题考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力．
7.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，结合数轴上位置关系知，显然成立，当时，也有．
【详解】若，结合数轴知，则显然成立；
当时，也有，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查集合子集关系，利用数轴的直观性进行求解，能使解题思路更清晰．
8.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据偶函数图象关于y轴对称的性质列出不等式，运算求解即为结果．
【详解】根据题意，f（x）是定义在实数集R上的偶函数，
且在x∈[0，+∞）上是单调增函数，
结合偶函数的性质，
不等式f（lgx）＞f（1）等价为：|lgx|＞1，
即lgx＞1或lgx＜﹣1，
解得，x∈（0，）∪（10，+∞），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数函数的图象和性质，对数不等式的解法，属于中档题．
9.已知函数与函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性可得（1）（1），即可得答案．
【详解】根据题意，，则，
又由函数与函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，
则，
故（1）（1）；
故选：．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
10.函数，的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用换元法将函数化为二次函数：令t＝log2x，则t∈（0，2]，可得y＝t2﹣3t+4，t∈（0，2]，再由二次函数的性质求值域．
【详解】令t＝log2x，则t∈（0，2]，
∴原函数化为y＝t2﹣3t+4，t∈（0，2]，
其对称轴方程为t，
∴当t时，y有最小值为，
当t＝0时，y有最大值为4，但取不到．
∴f（x）的值域为[，4）．
故选：C.
【点睛】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．
11.已知函数且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x﹣a的图象，其中﹣a表示直线在y轴的截距，结合图形可知当a<﹣1时，直线y2＝﹣x﹣a与y1＝log2x只有一个交点．即关于x的方程f（x）+x+a＝0有且只有一个实根
【详解】关于x的方程f（x）+x+a＝0有且只有一个实根，即函数f（x）的图象与函数y
＝﹣x﹣a的图象有且只有一个交点，
如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x﹣a的图象，
数形结合可知，当﹣a>1即a<﹣1时，直线y2＝﹣x﹣a与y1＝log2x只有一个交点．
即a∈（﹣∞，﹣1）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象性质和画法，方程的根与函数零点间的关系，函数与方程思想，数形结合思想．
12.已知函数，若存在实数，，，当时，，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数图象，得到，，得
则，换元后转化为二次函数求解值域即可．
【详解】作出函数f（x）的图象，若存在实数，，，当时，，可得a与b关于x=1对称，
所以2＜c＜3， ，且，得
则，
令，得，
又，则的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合思想和运算能力，分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）
13.函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组得答案．
【详解】要使原函数有意义，则，解得x>﹣2且x≠﹣1．
∴函数f（x）的定义域是（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．
故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）.
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14.已知函数在上单调递増，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定二次函数在上单调递增，需和反比例函数在上单调递增，需，与此同时还需满足当时，二次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，从而得出的取值范围。
【详解】由已知得反比例函数在上单调递增，需，
二次函数在上单调递增，则需对称轴，所以，
同时当时，，解得，
所以，
故填：。
【点睛】本题考查分段函数的单调性，除了需满足在每一段的范围内的单调性的同时，还需满足端点处的函数值的大小关系，属于基础题.
15.已知函数图象恒过定点，若点在幂函数图象上，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由loga1＝0得x﹣1＝1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的表达式即可得出答案．
【详解】∵loga1＝0，
∴当x﹣1＝1，即x＝2时，y＝，
∴点P的坐标是P（2，）．
幂函数g（x）＝xα的图象过点P（2，），
所以＝2α，解得α＝；
所以幂函数为g（x）＝，
则g（9）＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1＝0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．
16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，若集合，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣3）7或a+2≤4，解出a的范围即可．
【详解】∵集合，，
（1），又∁RA＝{x|x<3或x>7}，∁RB＝{x|x≤4或x10}
.
（2），
或.
∴或，求得或 ，
综上：或.
【点睛】考查描述法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，以及子集的概念．
19.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.
（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天.）
【答案】(1) ；；(2) 从2月1日开始第50天时，上市的西红柿纯收益最大。
【解析】
【分析】
(1)根据图像写出解析式即可;
(2)得到后,分两段求得各段的最大值,再比较大小可得分段函数的最大值.
【详解】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为
（2）设时刻的纯收益为，则由题意得
即
当时，配方得到
所以，当时，取得区间上的最大值为100；
当时，配方整理得到：
所以，当时，取得区间上的最大值为。
综上，在区间上的最大值为100，此时
即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。
【点睛】本题考查了分段函数最大值的求法.属中档题.
20.已知函数（，且为自然对数的底数）
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）是否存在实数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的范围，若不存在说明理由.
【答案】（1）增函数,证明见解析（2）奇函数,证明见解析（3）存在,
【解析】
【分析】
（1）利用单调性的定义证明单调性；
（2）利用奇偶性的定义证明奇偶性；
（3）根据（1）（2）的结论脱去“f”，分离参数，转化为二次函数问题，求实数t的取值范围．
【详解】（1）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1），
又y＝ex在R上为增函数且ex＞0，
∴，∴，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．
（2）∵函数f（x）＝ex﹣e﹣x，x∈R，定义域关于原点对称，
又f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）由（1）（2）知f（x）在R上为奇函数且单调递增，由
可得：，
∴，
即：对一切都成立，
又
解得：．
综上存在实数，t的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，单调性的证明和应用，一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题．
21.已知二次函数，，，且.
（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；
（2）若在区间上，图象上每个点都在直线的下方，求实数的取值范围.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出，g（x）的表达式，从而求出函数g（x）的对称轴，对称轴与区间比较，建立不等式，解出a的范围即可；
（2）由题意得不等式组，解出即可．
【详解】（1）由题意二次函数，，，∴对称轴为x=1，
∴，又，得到k=2，∴
即，
∴
或，所以或.
（2），即时，恒成立.
由实根分布可得：且，即得.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查了求参数的范围，是一道中档题．
22.已知和是函数的两个零点.
（1）求实数的值；
（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得 ，即可解得实数的值；
（2）由已知可得 ，所以在上恒成立可化为，化为，令，则 ，
由此可求实数的取值范围；
（3）记h（t）=t2-（3k+1）t+（2k+1），得到关于k的不等式组，解出即可．
【详解】（1），j即 .
（2）由已知可得，
所以在上恒成立可化为，
化为，令，则，
因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是．
（3）原方程可化为，
令则 有两个不等实根且或,
记 ，
则或，
两不等式组解集分别为与,
的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立以及求函数的最值问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．