高考数学复习课时提能演练(七十四) 选修4-2_1 5页

‎ ‎ 课时提能演练(七十四)‎ 1. 设若M=N，求x,y,p,q.‎ ‎2.曲线C1:x2+2y2=1在矩阵的作用下变换为曲线C2，求C2的方程.‎ ‎3.(易错题)已知△ABC的三个顶点A(0，0)，B(4，0)，C(0，3).△ABC在矩阵对应的变换作用下变为△A′B′C′,求△A′B′C′的面积.‎ ‎4.若一个变换所对应的矩阵是，求抛物线y2=-4x在这个变换下所得到的曲线的方程.‎ ‎5.(2012·南通模拟)将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程.‎ ‎6.已知a,b为实数，如果所对应的变换T把直线x-y=1变换为自身，试求a,b的值.‎ ‎7.(2012· 福州模拟)O(0,0),A(0,-4),B(2),设△AOB在矩阵所对应的变换作用下得到△A′OB′,求∠OA′B′和△A′OB′的面积.‎ ‎8.已知曲线C:x2+y2=1在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C′:求矩阵M.‎ ‎9.(预测题)二阶矩阵M对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4,-1).‎ ‎(1)求矩阵M;‎ ‎(2)求矩阵M将圆x2+y2=1变换后的方程.‎ ‎10.试求曲线y=sinx在矩阵变换下的曲线方程.‎ 答案解析 ‎1.【解析】∵M=N，∴解得或 ‎2.【解题指南】利用变换公式表示出变换前的点坐标，代入曲线C1的方程即可.‎ ‎【解析】设P(x,y)为曲线C2上任意一点，P′(x′,y′)为曲线C1上与P对应的点，‎ 则即 ‎∵P′是曲线C1上的点，∴C=的方程为(x-2y)2+2y2=1.‎ ‎3.【解析】由题意 ‎∴A′(0,0),B′(4,0),C′(0,6)，‎ ‎∴‎ ‎4.【解析】设P(x,y)为y2=-4x上任意一点，P′(x′，y′)为变换后所得曲线上对应P的点，由题意 ‎∴∴即 ‎∴抛物线y2=-4x经变换后的曲线方程为y2=16x.‎ ‎5.【解析】由题意,得旋转变换矩阵 设xy=1上的任意点P′(x′,y′)在变换矩阵M作用下为P(x,y),‎ ‎∴‎ 得故将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,所得曲线的方程为 ‎6.【解题指南】解答本题可先利用变换公式求出变换后的直线方程，再利用系数关系求a,b.‎ ‎【解析】设点(x,y)是直线x-y=1上任意一点.在变换T作用下的对应点为 ‎(x′,y′)，‎ 则∴‎ 由题意x′-y′=1，‎ ‎∴ax+y-by=1,即ax+(1-b)y=1，‎ ‎∴∴‎ ‎7.【解析】∵‎ 又∵矩阵和所对应的变换分别是位似变换和旋转变换,‎ ‎∴△A′OB′∽△AOB,且OA′=5OA,‎ ‎∵O(0,0),A(0,-4),B(2),∴∠OA′B′=∠OAB=30°,S△A′OB′=25S△AOB=‎ ‎8.【解析】在曲线C上任取一点P(x,y),点P在矩阵M作用下得点P′(x′,y′),‎ 设M=则 ‎∴‎ 由题意即 ‎∴a=2，b=0，c=0，d=1,‎ ‎∴M=‎ ‎9.【解析】(1)设矩阵M=‎ 则由M和M得解得所以M=‎ ‎(2)设点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点，变换后的点为P′(x′,y′)，‎ 则M 所以从而 代入x2+y2=1并化简得(x′-2y′)2+(x′+y′)2=9，即(x-2y)2+(x+y)2=9.‎ ‎10.【解析】设(x,y)是曲线y=sinx上任意一点,在矩阵的变换下对应的点为(x′,y′)‎ 则∴‎ ‎∴代入y=sinx得y′=sin2x′即y′=2sin2x′‎ 即曲线y=sinx在矩阵变换下的曲线方程为y=2sin2x.‎