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- 2021-04-28 发布
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射洪中学入学考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．函数的定义域是
A．（-1，2] B．[-1,2] C．（-1 ，2） D．[-1,2)
4．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是
A． B． C． D．
5．函数f（x）=log2x--1的零点所在的区间为
A． B． C． D．
6．函数的图象大致是
A． B．
C． D．
7．为了得到函数的图像，只需将的图像上每一个点
A．横坐标向左平移了个单位长度； B．横坐标向右平移了个单位长度；
C．横坐标向左平移了个单位长度； D．横坐标向右平移了个单位长度；
8．已知，则
A． B． C． D．
9．已知函数，下面结论错误的是
A．函数的最小正周期为 B．函数是奇函数
C．函数的图象关于直线＝0对称 D．函数在区间上是增函数
10．若，则有
A． B． C． D．
11．已知是偶函数，它在上是增函数.若，则的取值范围是
A． B． C. D．
12．已知函数的定义域为R，当时，，当时，
，当时，，则
A． B． C．1 D．2
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则 。
14．______．
15．函数(A＞0,0＜＜)在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为______ 。
16．已知表示不超过实数的最大整数，如，，为取整函数，是函数的零点，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数f（x）=+的定义域为集合A，集合B={x|log2x≥1}．
（1）求A∩B，A∪B；
（2）若集合C={y|a＜y＜a+1}，且C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数（为常数）是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并予以证明．
19．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-＜φ＜）的最小正周期为π，且x=时f（x）取得最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求不等式g（x）≥1的解集．
20．（12分）为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；
t
0
10
20
30
0
2700
5200
7500
阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.
（1）请分别写出函数和的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
21．（12分）已知函数在闭区间（）上的最小值为．
（1）求的函数表达式；
（2）画出的简图，并写出的最小值．
22．（12分）设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.
（1）判断是否是函数的ℱ区间;
（2）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;
（3）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.
射洪中学入学考试数学试题参考答案
1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．B 12．A
13．1 14．2 15． 16．2
17．（1）由得，1≤x≤4；
∴A={x|1≤x≤4}，且B={x|x≥2}；
∴A∩B={x|2≤x≤4}，A∪B={x|x≥1}；
（2）∵C⊆（A∩B）；
∴；解得2≤a≤3；
∴a的取值范围是[2，3]．
18．（1）∵是奇函数，∴，
即，即，解得或（舍去），
故的值为1．
（2）函数在上是减函数．
证明：由（1）知，设，
任取，∴，
∵，，，∴，
∴在上为减函数，
又∵函数在上为增函数，
∴函数在上为减函数．
19．（1）∵f（x）的周期为π，∴ω==2，
∵当x=时，函数f（x）取得最小值，
∴sin（×2+φ）=-1，∴×2+φ=-+2kπ，即φ=-+2kπ，
∵φ是锐角，∴φ=．
∴f（x）=2sin（2x+）.
（2）由（1）及题意可得：g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），
g（x）≥1，可化为sin（2x-），
∴+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，
解得：+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴不等式的解集为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．
20.（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以 ,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以 .
（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为，
① 当，即时，
=
=，
所以当时，有最大值13600．
当，即时，
h
=，
因为的对称轴方程为，
所以 当时，是增函数，
所以 当时，有最大值为13200.
因为 13600>13200，
所以阅读总字数的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．
21．（1）依题意知，函数是开口向上的抛物线，
∴函数有最小值，且当时，．
下面分情况讨论函数在闭区间（）上的取值情况：
①当闭区间 ，即时，在处取到最小值，
此时；
②当，即时，在处取到最小值，此时；
③当闭区间，即时，在处取到最小值，
此时．
综上，的函数表达式为
（2）由（1）可知，为分段函数，作出其图象如图：
由图像可知．
22．（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：
因为 对，，
所以 .
所以 均有，
即不存在，，使得.
所以不是函数的ℱ区间
（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知
存在，，使得.
所以 .
因为
所以 ，即.
又因为 且，
所以 .
（Ⅲ）因为 是函数的ℱ区间，
所以 存在，，使得.
所以
所以 存在，使得
不妨设. 又因为 ，
所以 .
所以 .
即在区间内存在两个不同的偶数.
①当时，区间的长度，
所以 区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.
②当时，有，
所以 .
（i）当时，有即.
所以也符合题意.
（ii）当时，有即.
所以 符合题意.
（iii）当时，有即此式无解.
综上所述，的取值范围是.