【数学】2019届一轮复习人教A版几何证明选讲学案 5页

题型一　相似三角形的判定及性质 例1 如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F，‎ 求证：＝.‎ 学 ‎ 点评：(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边.‎ ‎(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等.学 ‎ 巩固1如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.‎ ‎(1)求证：△ABF∽△CEB；‎ ‎(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积. ‎ 题型二　直角三角形射影定理及其应用 例1 如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的 延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.‎ 点评：(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.‎ ‎(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.‎ 巩固2如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，‎ 求证：＝.‎ 题型三　圆周角、弦切角及圆的切线问题 例2 如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，‎ 过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E，‎ ‎(1)求∠DAC的度数；‎ ‎(2)求线段AE的长.‎ 变式：（2018江苏）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求 BC 的长．‎ ‎【解析】连结，因为与圆相切，所以．‎ 又因为，，学 ‎ 所以．‎ 又因为，从而为斜边的中点，所以．‎ ‎【答案】2‎ 巩固3如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点， 学 ‎ 证明 (1)∠ACE＝∠BCD； ‎ ‎(2)BC2＝BE×CD.‎ 题型四　圆周角、弦切角及圆的切线问题 . ‎ 例4如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB、AC 相交于点D、E，‎ 求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.‎ ‎【证明】　(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.‎ 因PE是∠APC的角平分线，‎ 故∠EPC＝∠APD.‎ 又PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.‎ 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.‎ ‎ . ‎ 点评　涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理.‎ 巩固4如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，‎ F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.‎ ‎(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.‎ 答案与解析 巩固1(1)【证明】　∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，‎ ‎∴△ABF∽△CEB.‎ ‎(2)24‎ 巩固2【证明】　由直角三角形射影定理，知AC2＝AD·AB，‎ BC2＝BD·AB，AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝＝，∴＝.学 . ‎ 巩固4【证明】　(1)∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.‎ ‎∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED，‎ ‎∴∠EDF＝∠C.‎ ‎∵CD∥AP，∴∠C＝∠P，∴∠P＝∠EDF.‎ ‎(2)∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，‎ ‎∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.‎ 即EF·EP＝DE·EA.‎ ‎∵弦AD、BC相交于点E，‎ ‎∴DE·EA＝CE·EB，‎ ‎∴CE·EB＝EF·EP.‎