2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 文科数学 9页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学 ‎ 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设、是实数，则“”是“”的（ ）‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 ‎6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知圆和两点，，若圆上存在点 ‎，使得，则的最大值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）‎ ‎ A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟 第2部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.若，则 .‎ ‎10.设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为 ‎ .‎ ‎11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .‎ ‎12.在中，，，，则 ； .‎ ‎13.若、满足，则的最小值为 .‎ ‎14.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：‎ ‎ 工序 ‎ 时间 原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短交货期为 工作日.‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15.（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎16.（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）写出的最小正周期及图中、的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：.‎ （1） 求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.‎ ‎20. （本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求在区间上的最大值；‎ ‎（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；‎ ‎（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）‎ 数学（文）（北京卷）参考答案 一、 选择题 ‎（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）B 二、 填空题 ‎（9）2 （10） （11） （12）2, （13）1 （14）42‎ 三、 解答题 ‎（15）解：‎ ‎（I）设等差数列的公差为，由题意得：，‎ 所以，‎ 设等比数列的公比为，由题意得：，解得.‎ 所以，从而.‎ ‎（II）由（1）知，，‎ 数列的前n项和为，数列的前n项和为，‎ 所以数列的前n项和为.‎ ‎（16）解：‎ ‎（I）的最小正周期为，，.‎ ‎（II）因为，所以，于是 当，即时，取得最大值0；‎ 当，即时，取得最小值.‎ ‎（17）解：‎ ‎（I）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，‎ 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，所以平面平面.‎ ‎（II）取AB中点G，连结EG，FG，‎ 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，‎ 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，‎ 所以四边形为平行四边形，所以EG，‎ 又因为EG平面ABE，平面ABE，‎ 所以平面.‎ ‎（III）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，‎ 所以三棱锥的体积为：==.‎ ‎（18）解：‎ ‎（I）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 ‎6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.‎ 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为.‎ ‎（II）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以，‎ 课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以.‎ ‎（III）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.‎ ‎（19）解：‎ ‎（I）由题意，椭圆C的标准方程为，‎ 所以，从而，‎ 因此，故椭圆C的离心率.‎ ‎（II）设点A，B的坐标分别为，其中，‎ 因为，所以，即，解得，又，‎ 所以==‎ ‎==，‎ 因为，且当时间等号成立，所以，‎ 故线段AB长度的最小值为.‎ ‎（20）解：‎ ‎（I）由得，令，得或，‎ 因为，，，，‎ 所以在区间上的最大值为.‎ ‎（II）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则 ‎，且切线斜率为，所以切线方程为，‎ 因此，整理得：，‎ 设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， =，‎ 与的情况如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ t+3‎ 所以，是的极大值，是的极小值，‎ 当，即时，此时在区间和上分别 至多有1个零点，所以 至多有2个零点，‎ 当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点.‎ 当且，即时，因为，，‎ 所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.‎ 综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.‎ ‎（III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；‎ 过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；‎ 过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.‎