2013年高考数学天津卷（文） 8页

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 第Ⅰ卷 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, B= {x∈R| x≤1}, 则 A B  (A) ( ,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 2．设变量 x, y 满足约束条件 3 6 0, 2 0, 3 0, x y y x y           则目标函数 2z y x  的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 n 的值为 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 4．设 ,a b  R , 则 “ 2( ) 0a b a  ”是“ a b ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5．已知过点 P(2,2) 的直线与圆 2 2 5( 1)x y  相切, 且与直线 1 0ax y   垂直, 则 a  (A) 1 2  (B) 1 (C) 2 (D) 1 2 6．函数 ( ) sin 2 4f x x      在区间 0, 2      上的最小值是 (A) 1 (B) 2 2  (C) 2 2 (D) 0 7 ． 已 知 函 数 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足 2 1 2 (log ) (log ) 2 (1)f a f fa  , 则 a 的取值范围是 (A) [1,2] (B) 10, 2      (C) 1 ,22      (D) (0,2] 8．设函数 22, ( ) ln) 3( x x g x xx xf e      . 若实数 a, b 满足 ( ) 0, ( ) 0f a g b  , 则 (A) ( ) 0 ( )g a f b  (B) ( ) 0 ( )f b g a  (C) 0 ( ) ( )g a f b  (D) ( ) ( ) 0f b g a  二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = . 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 9 2  , 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线 2 8y x 的准线过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该 双曲线的方程为 . 12．在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, 60BAD   , E 为 CD 的中点. 若 · 1AC BE   , 则 AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB//DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 . 14．设 a + b = 2, b>0, 则 1 | | 2 | | a a b  的最小值为 . 三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分 13 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等 品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率. 16．(本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 sin 3 sinb A c B , a = 3, 2cos 3B  . (Ⅰ) 求 b 的值; (Ⅱ) 求sin 2 3B     的值. 17． (本小题满分 13 分) 如图, 三棱柱 ABC－A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. 18．(本小题满分 13 分) 设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F, 离心率为 3 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长 为 4 3 3 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 · · 8AC DB AD CB     , 求 k 的值. 19． (本小题满分 14 分) 已知首项为 3 2 的等比数列{ }na 的前 n 项和为 ( *)nS n N , 且 2 3 4,2 , 4SS S 成等差数列. (Ⅰ) 求数列{ }na 的通项公式; (Ⅱ) 证明 13 *)6 1 (n n S nS    N . 20．(本小题满分 14 分) 设 [ 2,0]a  , 已知函数 3 3 2 ( 5) , 0 3 , 0 ( , ) .2 x f a x x ax x x x x a          (Ⅰ) 证明 ( )f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线 ( )y f x 在点 ( , ( ))( 1,2,3)i i ix f x iP  处的切线相互平行, 且 1 2 3 0,x xx  证明 1 2 3 1 3xx x   . 参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9． 5 5i 10． 3 11． 2 2 13 yx   12． 1 2 13．15 2 14． 3 4 15． 16． 17． 18． 19． 20．