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- 2021-04-28 发布
专题 抽象函数的导数问题
所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：
（1） 根据条件设法确定函数的单调性；
（2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方面要和已知条件含有的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数
【求导的四则运算】
法则1 .
法则2 .
法则3 .
例1、（2018江西卷）对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A. B.
C. D .
分析：这个题目的条件 ，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说：
由得：
（1）且，于是在上单调递增；
（2）且，于是上单调递减；
综上可知的最小值为，，，得，选C
【典型构造】
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则，若，则单调递增；
例2、是R上的可导函数，且，，求的值
分析：构造，则，所以单调递增或为常函数，而，，所以，故，得
例3、（07陕西理）是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（ ）
A． B． C． ．
分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，或，下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件：
，因为，，得，则，故，于是由得，即，选A
例3、定义在上的函数，导数为，且，则下式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
解：因为，所以，即，
构造，则，所以单调递增，因，所以，即，即，选D
练习
1、已知函数满足，且在上，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
解析：构造，则，故为奇函数，且在上，，故是增函数，
而，故只需，得，选B
2、设在上可导，且，则当有（ ）
解析：构造函数，则易知单调递增，于是，，选C
3、（2018高考辽宁）函数的定义域为,，对任意，，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
解析：构造函数，则，所以在R上单调递增，又因为，则，于是的，选B
4、已知函数满足，导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
解析：构造函数，则，所以函数单调递减，而，等价于，得，选D;
5、是定义在R上的可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（ ）
A． B． C． D．
解析：构造，可知递增，故选B；
6. (2009天津) 设在R上的导函数为，且，则下面的不等式在R上恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
解析：构造函数，则，
当时，由，得；
当时，，得，于是在上单调递增，故，则；
当时，，得，则在上单调递减，故，则；
综上可知 选A
7、在R上的导函数为，且，且，则下面的不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
解析：构造，，则单调递增，则，即，故选A
8、函数的导函数为，对任意的实数，都有成立，则（ ）
A． B． C． D．
解析：构造，，
则单调递增，则，即，故选B
9、设函数满足，，则当时，（ ）
A．有极大值,无极小值 B．有极小值,无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
解析：由已知得，设，
求导得，易得在且是恒成立，因此在且是恒成立，而，说明 在时没有极大值也没有极小值 选D
10、若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．
11、设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．