2019届二轮复习空间向量与空间角空间向量与空间距离课件(51张PPT) 51页

空间向量与空间角 空间向量与空间距离 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证 . 求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一 . 本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题 . O A B . 用空间向量解决立体几何问题的三步曲： 1. （化为向量问题） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题 . 2. （进行向量运算） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 . 3. （回到图形问题） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义 . 探究点 1 异面直线所成的角 l m l m 若两直线 所成的角为 . 提示： 【 总结提升 】 两条异面直线所成的角的两个关注点 (1) 余弦值非负 : 两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值 , 而对应的方向向量的夹角可能为钝角 . (2) 范围 : 异面直线所成的角 θ∈ , 故两直线的方向向量夹角 α 的余弦值为负时 , 应取其绝对值 . 探究点 2 线面角 l l 提示： 2. 向量法求直线与平面所成角的原理 条件 直线 l ( 方向向量为 a ) 与平面 α( 法向量为 n ) 所成的角为 θ 图形 关系 计算 sinθ=|cos< a , n >| D C l B A 探究点 3 二面角 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 l 二面角的范围： 提示： 求异面直线的夹角 考点一 两条异面直线所成角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等．当两方向向量夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． 四棱锥 P ABCD 中， PD ⊥ 平面 ABCD ， PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°. 在四边形 ABCD 中， ∠ ADC ＝ ∠ DAB ＝ 90° ， AB ＝ 4 ， CD ＝ 1 ， AD ＝ 2. (1) 建立适当的坐标系，并写出点 B 、 P 的坐标； (2) 求异面直线 PA 与 BC 所成的角的余弦值． 例 1 求直线与平面所成的角 考点二 【思路点拨】 　利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取 A 1 B 1 的中点 M ，连结 C 1 M ，证明 ∠ C 1 AM 是 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角；另一种是利用平面 A 1 ABB 1 的法向量 n ＝ ( λ ， x ， y ) 求解． 例 2 利用向量法求二面角的步骤： (1) 建立适当的空间直角坐标系； (2) 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3) 求出两个法向量的夹角； (4) 判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5) 确定出二面角的平面角的大小． 求平面与平面所成的角 考点三 如图，在长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是棱 BC ， CC 1 上的点， CF ＝ AB ＝ 2 CE ， AB ∶ AD ∶ AA 1 ＝ 1 ∶ 2 ∶ 4. (1) 求异面直线 EF 与 A 1 D 所成角的余弦值； (2) 证明 AF ⊥ 平面 A 1 ED ； (3) 求二面角 A 1 ED F 的正弦值． 例 3 【思路点拨】 　解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解． 探究 4 ： 1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 ( 其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题 . 提示： 2. 点到直线的距离 点 P 与直线 l 的距离为 d 。 设 E 为平面 α 外一点 ,F 为 α 内任意一 点 , 为平面 α 的法向量 , 则点 E 到平面的 距离为。 3. 点到平面的距离 a,b 是异面直线 ,E,F 分别是直线 a,b 上的点 , 是 a,b 公垂线的方向向量 , 则 a,b 间距离为 4. 异面直线间的距离 5. 平面与平面的距离问题： A ， P 分别是平面 a 与 b 上任意一点， 平面 a 与 b 的 距离为 d , 则 m D C P A 类型一 　空间两点间距离 【 典例 】 1. 若 O 为原点， =(1 ， 1 ， -2) ， =(3 ， 2 ， 8) ， =(0 ， 1 ， 0) ，则线 段 AB 的中点 M 到点 C 的距离为　 ( 　　 ) 2. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底 面是以 O 为中心的菱形， PO⊥ 底面 ABCD ， AB=2 ，∠ BAD = ， M 为 BC 上一点，且 BM= ， MP⊥AP ，则 PO 的长为 ________. 3. 如图，正方形 ABCD ， ABEF 的边长都是 1 ，而且平面 ABCD ， ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移 动，若 CM=BN=a(0