- 230.93 KB
- 2021-04-28 发布
第11讲 函数与方程
考纲要求
考情分析
命题趋势
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
2017·江苏卷，14
2016·天津卷，8
1．函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大．
2．函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围．
分值：5～8分
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
__两个__
__一个__
无
3．二分法
(1)二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__，给定精确度ε.
第二步，求区间(a，b)的中点x1．
第三步，计算f(x1)：
①若__f(x1)＝0__，则x1就是函数的零点；
②若__f(a)·f(x1)<0__，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若__f(x1)·f(b)<0__，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)．否则重复第二、第三、第四步．
4．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点． ( √ )
(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( √ )
解析 (1)错误．函数f(x)＝x2－1的零点为－1和1，而并非其与x轴的交点(－1,0)与(1,0)．
(2)错误．函数f(x)＝x2－x在(－1,2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)>0.
(3)正确．当b2－4ac<0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点．
(4)正确．由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间[a，b]上有且仅有一个交点，故正确．
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
解析 y＝cos x是偶函数，且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A．
3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 函数f(x)＝2x＋x3－2显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点，故选B．
4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( C )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析 设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈__(2,3)__(填区间)．
解析 由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．
一 函数零点的所在区间
判断函数零点所在区间的方法
(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断．
(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断．
(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
【例1】 (1)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是( C )
A． B．
C．(1,2) D．(2,3)
(2)若a0，
f＝1－log2＝1＋＝>0，f(1)＝1－0>0，
f(2)＝1－2log22＝－1<0，由f(1)f(2)<0知选C．
(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)·(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．
二 判断函数零点的个数
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例2】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的零点个数是( C )
A．2 B．3
C．4 D．多于4
(2)函数f(x)＝的零点个数是__2__.
解析 (1)由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出y＝log3|x|和y＝f(x)，x∈[－3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.
(2)当x≤0时，令f(x)＝0，即x2－2＝0，∴x＝(舍)或x＝－.当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，故f(x)在(1,3)上存在唯一零点，即f(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点，∴f(x)共有2个零点．
三 函数零点的应用
函数零点应用问题的常见类型及解题策略
(1)已知函数零点存在求参数．根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．
(2)已知函数零点个数求参数．常利用数形结合法．
(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小．
【例3】 (1)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( B )
A． B．(－∞，－1)∪
C． D．(－∞，－1)
(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是( A )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)
C．[－1,0]∪(1,2] D．[0,1]
解析 (1)要使函数在(－1,1)上存在一个零点，则有f(－1)·f(1)<0，即(－5a＋1)(a＋1)<0，所以(5a－1)(a＋1)>0，解得a>或a<－1，故选B．
(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1．故选A．
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是( B )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 因为f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(x)在(1,2)上必存在零点，故选B．
2．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( A )
A．a1时，f(x)＝log2x>0，所以f(f(x))－1＝log2(log2x)－1＝0，得log2x＝2，x＝4；当01时，f(x)的图象如图(2)所示．
图(1) 图(2)
当b∈(a2，a3]时，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，分别是x1＝，x2＝.综上，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
易错点 不会借助图象解决方程根的范围或根的个数问题
错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要找出两个函数，看它们的图象交点有几个．
【例1】 已知函数f(x)＝则关于x的方程(f(x))2＋bf(x)＋c＝0有5个不同实数根的充要条件是(
)
A．b<－2且c>0 B．b>－2且c<0
C．b<－2且c＝0 D．b≥－2且c＝0
解析 令f(x)＝t，则方程为t2＋bt＋c＝0.
设t1，t2为它的两个根，则f(x)＝t1和f(x)＝t2共有5个不同实根，y＝f(x)的图象如图所示．
则t1>2，t2＝0，∴c＝0.
由t2＋bt＝t(t＋b)＝0，得t1＝－b>2，∴b<－2，故选C．
答案 C
【跟踪训练1】 已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( C )
A． B．
C．∪ D．∪
解析 要使函数f(x)在R上单调递减，只需解得≤a≤，因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点．如图所示．
易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为－1，又≤－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x>0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x<0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则
整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝.
而当3a≤2，即a≤时，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈∪.
课时达标 第11讲
[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是( A )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．
2．满足方程ln x＋x－4＝0的x0属于区间( C )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 设f(x)＝ln x＋x－4，因为f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3＋3－4>0，故零点一定在区间(2,3)内．
3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( B )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 令f(x)＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为( B )
A．(0,4) B．(4，＋∞)
C．(0,2) D．(2，＋∞)
解析 依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y1＝|x2－a|的图象与函数y2＝x－2的图象有两个不同的交点．如图，则>2，即a>4，故选B．
5．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( B )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)
解析 因为f(－x)＝e|－x|＋|－x|＝e|x|＋|x|＝f(x)，故f(x)是偶函数．当x≥0时，f(x)＝ex＋x是增函数，故f(x)≥f(0)＝1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(－∞，0)上是减函数，值域为[1，＋∞)，作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，＋∞)，故选B．
6．已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，则f(x)＝0在区间[0,2 017]内根的个数为( C )
A．2 015 B．1 008
C．2 017 D．1 009
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)＝f(－x＋2)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为函数f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，所以函数f(x)＝0在区间[0,2 017]内根的个数为2 017，故选C．
二、填空题
7．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)上有两个零点，则实数a的取值范围为！！！ ###.
解析 依据二次函数的图象有
即解得20时，f(x)＝2 017x＋log2 017x，则在R上函数f(x)零点的个数为__3__.
解析 函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 017x＋log2 017x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一零点，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.
9．已知函数f(x)＝有3个不同的零点，则实数a的取值范围是！！！ ###.
解析 依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时00时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，
于是有解得a>，
因此，满足题意的实数a需满足即0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，
解得00)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解析 (1)∵x>0时，g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e时，y＝g(x)－m就有零点．所以m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．