- 2.62 MB
- 2021-04-28 发布
绝密★启用前
山西省芮城县2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．在一次数学测试中，成绩在区间［125,150］上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”,是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合复合命题定义表示“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即可.
【详解】
“甲测试成绩不优秀”可表示为，“乙测试成绩不优秀”可表示为，
“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为：.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查命题的否定，复合命题的应用，属于基础题.
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将抛物线方程写成标准形式，然后确定其焦点坐标即可.
【详解】
抛物线的标准方程为，据此可得抛物线的焦点坐标为.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查抛物线焦点坐标的求解，属于基础题.
3．的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求解不等式，然后确定其必要不充分条件即可.
【详解】
求解不等式可得，
结合所给的选项可知的一个必要不充分条件是.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件的理解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，结合离心率首先确定a,b的关系，然后结合双曲线方程确定渐近线方程即可.
【详解】
由题意可得，
结合双曲线方程可知其渐近线方程为.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查双曲线渐近线的求解，双曲线离心率的定义域应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．四面体中，分别是的中点，是的三等分点（靠近N），若，， ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合向量的加法公式、减法公式确定的表达式即可.
【详解】
由题意可得：
，
，
.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查空间向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定直线所过的定点，然后确定d的最大值即可.
【详解】
直线方程即，据此可知直线恒过定点，
当直线时，有最大值，
结合两点之间距离公式可得的最大值为.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查直线恒过定点问题，两点之间距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．如图：在直棱柱中，，，分别是A1B1,BC,CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.
【详解】
以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
据此可得：，
，故，即直线PQ与AM所成的角是.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，,,是的中点，过的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（ ）
A．40 B．
C．50 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】
如图所示，取的中点N，连结，易知平面为过的平面，
则所得的三棱台为，其中上下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均为梯形，
各个面的面积：
，，,
,，
据此可知三棱台的表面积为.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查空间几何体的结构特征，三棱台表面积的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，为的中点，为原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先确定焦点坐标，然后联立直线方程与椭圆方程求解直线的斜率即可.
【详解】
由,得a2=2,b2=1,所以c2=a2−b2=2−1=1.
则c=1,则左焦点F(−1,0).
由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，
则直线l的方程为y=kx+k.
设l与椭圆相交于P(x1,y1)、Q(x2,y2)，
联立,得：.
所以.
则PQ的中点M的横坐标为.
因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，
所以.解得：.
本题选择B选项.
【点睛】
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合焦半径公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
有抛物线的焦半径公式有：，
即，则.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查抛物线的焦半径公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．已知椭圆的两个焦点分别是,短轴的两个端点分别为，左右顶点分别为，若为等腰直角三角形，点在椭圆上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意首先确定的值，然后结合椭圆方程确定斜率的取值范围即可.
【详解】
我们有如下结论：在椭圆方程中，点为椭圆上的点，椭圆的左右顶点分别为，则.
证明：点为椭圆上的点，则，据此计算可得：，
易知，结合斜率公式有：，
故.
回到原题，由为等腰直角三角形可知，则，故，
结合斜率的取值范围是，可得斜率的取值范围是
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查椭圆的性质，椭圆中的定值问题及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．如图：已知双曲线中，为左右顶点，为右焦点，为虚轴的上端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点,使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将原问题转化为直线与圆相交的问题，结合双曲线的性质求解离心率的取值范围即可.
【详解】
原问题等价于以为直径的圆与线段有两个交点，
很明显，则，据此可得：，
以为直径的圆圆心坐标为，半径为，
的方程为，即，
据此有：，结合整理可得：
，故，
据此可得：，
结合可得：双曲线离心率的取值范围是.
本题选择A选项.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．“”是假命题，则实数的取值范围是 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
考虑题中所给命题的否命题为真命题求解实数m的取值范围即可.
【详解】
由题意可知，命题“”为真命题，
据此有：，
求解不等式可得实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查命题的否定，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．已知，若三向量共面，则实数=_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值.
【详解】
由题意可知，存在实数满足：，
据此可得方程组：，求解方程组可得：.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．如图,600的二面角的棱上有两点A，B，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6,BD=8，则CD＝___________
A
B
C
D
α
β
【答案】
【解析】过点作，使得，连接
则四边形为平行四边形，所以
而，则是二面角的平面角，故
在中，因为
所以
因为，所以
所以面，则
在中，因为
所以
16．椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆，其长轴的长为，焦距为，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到左焦点所经过的路程为，则椭圆的离心率为_____.
【答案】或或
【解析】
【分析】
由题意结合椭圆的定义分类讨论确定椭圆的离心率即可.
【详解】
依据椭圆的光学性质，光线从左焦点出发后，有如图1，图2，图3所示的三种路径。
路径一，4a=5c，则e=；
路径二，2（a-c）=5c，则e=；
路径三，2（a+c）=5c，则.
故椭圆C的离心率为或或.
【点睛】
本题主要考查椭圆离心率的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知命题方程表示双曲线；命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。
【答案】或
【解析】
【分析】
首先确定p,q为真时k的取值范围，然后结合题意确定实数的取值范围即可.
【详解】
真：得或，
真：，
是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，
则有或，
或.
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程及其应用，由充分不必要条件求解参数的取值范围，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．
【答案】(1),；(2)．
【解析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.
试题解析：
（1）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为
（2）将代入
得得， 所以
因为的半径为1，则的面积为
考点：坐标系与参数方程.
视频
19．如图：直三棱柱中，为棱上的一动点，
分别是，的重心，
（1）求证：
（2）若点在上的射影正好为，求与面所成角的正弦值。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)建立空间直角坐标系，利用即可证得题中的结论；
(2)分别求得直线DN的方向向量和平面ABD的法向量，然后求解线面角的正弦值即可.
【详解】
（1）由题意知，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，
则，
设 分别为和的重心，
，
，
，
，
（2）在上的射影为 面，
又，
得得或（舍），
，故，
易知面的法向量为，
设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查空间向量求解线面角的正弦值，空间向量证明异面直线垂直等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．设抛物线，点，过点作直线，
（1）若与只有一个公共点，求的方程
（2）过的焦点F，交与两点，求: ①弦长 ； ②以为直径的圆的方程。
【答案】（1）或或；（2）①8；②.
【解析】
【分析】
(1)由题意分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况确定直线方程即可；
(2)联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式即可求得弦长，分别确定圆心和半径即可求得圆的方程.
【详解】
（1）若的斜率不存在，则符合
若的斜率存在，设斜率为，
由联立得
或
或
综上：或或
（2）焦点 设
得
又
以为直径的圆：半径
设中点 ，则
圆心 所求圆的方程为
综上，所求圆的方程为
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．如图（1），在等腰梯形中， ， 是梯形的高， ， ，现将梯形沿， 折起，使且，得一简单组合体如 图（2）示，已知， 分别为， 的中点．
（1）求证： 平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐二面角大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：
(1)利用题意结合几何关系可得： ，结合线面平行的判断定理可得： 平面.
(2)利用题意建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，据此可得平面与平面所成锐二面角的大小为.
试题解析：
（1）连，∵四边形是矩形， 为中点，∴为中点，
在中， 为中点，故，又∵平面， 平面，∴平面.
（2）依题意知， ，且，
∴平面，过点作于点，连接，
∴在面上的射影是，∴为与平面所成的角，
∴，∴， ，
设且，分别以， ， 所在的直线为， , 轴建立空间直角坐标系，
则， ， ， ，
， ， ， ，
设， 分别是平面与平面的法向量
令， ，即， ，
取， ，则，∴平面与平面所成锐二面角的大小为.
22．(本题满分12分)
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最
小值为，离心率为。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】
解：（I）设椭圆E的方程为
由已知得：
2分
椭圆E的方程为 3分
（Ⅱ）解：假设存在符合条件的点，又设，则：
5分
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则
由
得
7分
所以
9分
对于任意的值，为定值，
所以，得，
所以； 11分
②当直线的斜率不存在时，直线
由得
综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为。 12分
【解析】略