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- 2021-04-28 发布
2019～2020学年度第一学期期中六校联考
高一数学
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：共9个小题，每小题4分，共36分.
1.设集合,，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求.
详解：∵集合，
∴,
∴．
故选．
点睛：此题考查了交、并、补集混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
2.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，不等式，解得或，
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故选A．
考点：充分不必要条件的判定．
【此处有视频，请去附件查看】
3.若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）.
A. B. C. [-2，3] D. [-3，2]
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意求出，再代入不等式，求解，即可得出结果.
【详解】因为不等式的解集是，
所以，解得，
所以不等式可化为，即，
解得.
故选D
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基础题型.
4.命题“对任意的，”的否定是
A. 不存在， B. 存在，
C. 存在， D. 对任意的，
【答案】C
【解析】
【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。
“对任意的，”的否定是:存在，
选C.
5.函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性,结合复合函数的单调性的判断可得出选项.
【详解】因为，所以或，即函数定义域为，
设，所以在上单调递减，在上单调递增，
而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.
故选：B．
【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵是定义在上的奇函数，当时，，∴当时，
，当时，，当时，，∴不等式的解集为，故选.
7.设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A. [－1，2] B. [－1，0]
C. [1，2] D. [0，2]
【答案】D
【解析】
【分析】
由分段函数可得当时，，由于是的最小值，则为减函数，即有，当时，在时取得最小值，则有，解不等式可得的取值范围.
【详解】因为当x≤0时，f(x)＝，f(0)是f(x)的最小值，
所以a≥0.当x＞0时，，当且仅当x＝1时取“＝”．
要满足f(0)是f(x)的最小值，
需，即，解得，
所以的取值范围是，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.
【此处有视频，请去附件查看】
8.已知幂函数在上为增函数，则值为（ ）
A. 4 B. 3 C. D. 或4
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得，可求得或.当时，在区间上是减函数，不合题意；当时，，满足题意，故得选项.
【详解】∵，
，解得或.
当时，在区间上是减函数，不合题意；
当时，，满足题意，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查幂函数的定义式和幂函数的性质，关键是准确掌握幂函数的定义和其单调性，属于基础题.
9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
当时，对函数分段讨论：得函数在时的解析式，再根据函数的奇偶性做出函数在上的图像，根据图像列出不等式，求解不等式可得选项.
【详解】当时，对函数分段讨论：得到
,
做出函数图象，再根据函数为奇函数,其图像关于原点对称,得出时的图象如图所示,
当时，，令，得，
而函数表示为将函数的图像向右平移2个单位后所得的函数，图像如下图所示，
要满足在上恒成立，由图像可知：需满足，即，则解得.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数、函数图像的平移和函数的奇偶性，以及根据函数的图像求解不等式，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
10.已知，那么_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式得出，再求可得解.
【详解】由,因为，所以，
故填：2
【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求函数值，关键在于判断自变量在分段函数的相应范围代入相应的解析式可求得函数值，属于基础题.
11.已知，使成立的的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式做出函数的图象，使成立的的取值范围就是函数在虚线及以上的部分中的取值范围，再分别求解和，可得的取值范围.
【详解】函数图象如下图所示：
虚线表示，函数在虚线及以上的部分中的取值范围即为不等式的解集，
由图可知，的取值范围就是点横坐标与点横坐标之间的范围。
中令，得，即为点横坐标。
中令，得或，所以点横坐标为，
所以不等式的解集为.
故填：.
【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求解不等式的问题，关键在于做出图像求解出满足不等式的范围端点值，属于基础题.
12.若函数定义域为，则实数的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解.
【详解】的定义域为是使在实数集上恒成立.
若时,要使恒成立,则有 且,即,解得.
若时，化，恒成立，所以满足题意，
所以
综上,即实数a的取值范围是.
故填: .
【点睛】本题主要考查函数恒成立问题,将恒成立转化为不等式恒成立,然后利用一元二次不等式的知识求解是解决本题的关键,同时要注意对二次项系数进行讨论，属于基础题.
13.已知函数，且，则_________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由，代入求得，即得,再代入可求得.
【详解】
,
则,
故填：10.
【点睛】本题主要考查了由函数的解析式求解函数的函数值,解题的关键是利用奇函数的性质及整体代入可求解，属于基础题.
14.正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知先求出，
得对任意实数恒成立，又由在时，，可得实数的取值范围.
【详解】因为，
所以，
所以对任意实数恒成立，即对任意实数
恒成立，
又因为在时，，
所以，
故填：.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，关键在于对运用参变分离，与相应的函数的最值建立不等关系，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共59分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数的定义域为集合，集合，.
（1）；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的解析式求出集合A，从而得到，可得解；
（2）由得，再分和两种情况分别求解的范围，可得解.
【详解】（1）由得,所以或，
或或.
（2）由已知得
①若，则 符合题意
②若，则 解得
综上，实数的取值范围为或.
故得解.
【点睛】本题考查集合间的交、并、补运算，需熟练掌握每一种运算的集合中元素的特征，特别对于集合间的包含关系需考虑子集是否是空集，属于基础题.
16.已知函数.
（1）若为偶函数，求在上的值域；
（2）若在区间上是减函数， 求在上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为.最小值为.
【解析】
【分析】
（1）根据为偶函数求得的值，再得到函数在上的单调性，从而可得在上的值域；
（2）由已知得出的范围，继而得函数的对称轴与区间的关系，得出函数在对称轴处取得最小值，再比较与的大小，得解.
【详解】（1）因为函数为偶函数，
故，即，解得.
所以，
因为，所以
所以，即在上的值域为.
（2）若在区间上是减函数，则函数图象的对称轴为，
所以，
所以时，函数递减，时，函数递增，
故当时，比较与的大小，
，
，
由于，
故在上的最大值为.最小值为，
故得解.
【点睛】本题考查二次函数的奇偶性，对称性，以及二次函数的值域，关键在于得出二次函数在给定的区间上的单调性，属于中档题.
17.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）；（2） 在上是增函数，证明详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数是奇函数得，再由可得的值，从而得函数的解析式；
（2）设，作差得，即可得解；
（3）由函数是奇函数和（2）的结论，建立不等式组，解之得解.
【详解】（1）由 ，知：。又，
（2） 在上是增函数，证明如下：
设，则
又 ，∴ ，
从而 ，即
所以 在上是增函数.
（3）由题意知：由 , 得，即为
由（2）知： 在上是增函数，
所以 即为 ，解得：
又∵，且
所以且，即.
不等式解集为，
故得解.
【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于熟练掌握函数的性质的定义和其证明方法，求解不等式时注意考虑函数的定义域，属于中档题.
18.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入成本为，当年产量不足80万件时，（万元）.当年产量不小于80万件时，（万元）.每件商品售价为50元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）；（2）100万件.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件分和两个范围求得解析式，从而得出利润函数的解析式；
（2）分别求解分段函数在相应范围的最大值，比较其大小得出利润函数的最大值.
【详解】（1）依题意得：
当时，.
当时，.
所以
（2）当时，
此时，当时，取得最大值万元.
当时，
当时，即时取得最大值1000万元.
∵
所以，当产量为100万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.
【点睛】本题考查实际问题中运用函数的性质求解最值的问题，关键在于将实际问题转化为数学函数知识，属于中档题.
19.设函数,
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值．
（3）若 求不等式的解集.
【答案】（1）2；（2）；（3）分类讨论，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据不等式与相应的方程之间的关系得出关于的方程组，求解可得出的值；
（2）由得，再代入中运用均值不等式可求得最小值；
（3）由已知将不等式化为，即，对分①，②，③，④四种情况分别讨论得出不等式的解集.
【详解】（1）由不等式解集为可得：方程的两根为，3且,
由根与系数的关系可得：，
所以
（2）由已知得,则
，
当时，，所以（当且仅当时等号成立）；
当时，，所以（当且仅当时等号成立）；
所以的最小值为；
（3）由得，
又因为 所以不等式化为，即，
当时，，原不等式或
若，原不等式此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当时，不等式的解集为；
（2）当时，，不等式；
（3）当时，，不等式 .
综上所述，不等式的解集为：
①当时，或；
②当时，；
③当时，；
④当时，.
故得解.
【点睛】本题综合考查二次函数与一元二次不等式、一元二次方程之间的转化的关系，以及利用均值不等式求解最值和讨论参数的范围求解一元二次不等式，属于中档题.