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- 2021-04-28 发布
2019～2020学年度（下期）高2019级4月月考试卷
理科数学
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．设且，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
3．等比数列中, 则的前项和为 （ ）
A． B． C． D．
4．的值为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，内角所对的边分别是，B＝60º，且不等式的解集为，则等于 （ ）
A． B．4 C． D．
6．已知、为锐角，，，则= （ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为a，b，c，若，则 （ ）
A．2 B． C． D．
8.函数的最大值为 （ ）
A．2 B． C． D．
9．在中，内角所对的边分别是，若成等比数列，，则＝ （ ）
A． B． C． D．
10．已知△中，,,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于 ( )
A． B． C．或 D．或
11．在递减等差数列中，.若，则数列的前项和的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
12．设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.不等式的解集为 .（用区间表示）
14．若数列是正项数列，且，
则＝ .
15．甲船在岛的正南处，以4千米/时的速度向正北方向航行，千米，同时乙船自岛出发以6千米/时向北偏东60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 小时.
16．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2， 则tanC等于
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．(本题满分10分)已知公差不为零的等差数列中， ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
在中，内角所对边分别为．已知面积为，，．
（1）求的值；（2）求的值．
19. （本小题满分12分）已知在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求b的值；
（2）若,求的取值范围.
20．（本小题满分12分）已知数列是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2) 设，求Sn.
(3)若对任意，有恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别是,不等式
对一切实数恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状．（参考知识：已知a,bR，a2+b22ab；a,bR+，）
22．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有.
（1）求数列、的通项公式;
（2）令.若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.
2019—2020学年度（下期）高2019级4月月考数学（理）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
B
A
C
D
D
A
D
C
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本题满分10分)
解：（1）设公差为d,
则有 ……………………………………………2分
∴d=0（舍）或, …………………………………………………………3分
∴ …………………………………………………………………………5分
（2）令 …………………………………………………………6分
∴…………………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）在中，由，可得.
又因为，所以，即 …………………2分
又，解得，. ……………………………………………4分
由.
得 …………………………………………………………………6分
（2）因为=， ………8分
所以
= ……………………………12分
19. （本小题12分）
【答案】（1）（6分）
（2）（6分）
试题解析：（1）由，应用余弦定理，可得
化简得则
（2） 即
所以
法一. ,则= = =
又
法二因为 由余弦定理得，
又因为，当且仅当时“”成立.
所以
又由三边关系定理可知综上
20．（本小题12分）
详解：(1)（4分）∵数列是首项、公比均为2的等比数列，，
故，当时， 符合上式，∴数列的通项公式为 .
(2)（4分）解：
，
所以.
（3）（4分）因，所以{Sn}单调递增，即有Sn的最小值为S1=，成立，由已知有，解得，所以的取值范围为．
21．（本小题满分12分）
解：（1）当时，，
原不等式即为对一切实数不恒成立. …………………………………1分
当时，应有 ………………………………3分
解得 . …………………………………………5分
……………………………………………6分
（2），的最大值为 ………………………7分
此时，
.
（当且仅当时取“=”）. ……………………………………………10分
（当且仅当时取“=”）.
此时，面积的最大值为，为等边三角形. ……………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1），
当时，
∴，即( ). ……………………………1分
∴()，
又,也满足上式，故数列的通项公式().…………………2分
（说明：学生由，同样得分）.
由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，
∴数列的通项公式 …………………………………………………3分
（2）∵ <1>
∴ <2>
由<1><2>,得 ………………5分
……………………………………………………7分
……………………………………………………8分
①,∴
又恒正.
故是递增数列,
∴ . ………………………………………………………………………10分
又
不等式
即，
即（）恒成立.
方法一：设（），
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴
则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是. ……………………………………………12分
方法二：也即（）恒成立，
令．则,
由，单调递增且大于0，∴单调递增，
当时，，且，故，
∴实数λ的取值范围是 ……………………………………………12分