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- 2021-04-28 发布
一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1.已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是( )
A．x2－y2＝9(x≥0)
B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)[来源:学&科&网]
C．y2－x2＝9(y≥0)
D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)
解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，
即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．
答案 B
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当Sn取得最小值时，n＝6.
答案 A
3．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为( )
A．－3 B．－[来源:学科网ZXXK]
C．3 D.
解析：设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.
∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.
答案：D
4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( )
（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）[来源:学+科+网Z+X+X+K]
A．8－ B．8－[来源:学科网ZXXK]
C．8－2π D.
解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－.[来源:学科网]
答案 A
5．已知则( )
A. B. C. D.
解析 因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为
都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.
答案 B
二．填空题。（本部分共2道填空题）
1．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．
解析 a是1＋2b与1－2b的等比中项，则a2＝1－4b2⇒a2＋4b2＝1.
∵a2＋4b2＝(|a|＋2|b|)2－4|ab|＝1.∴＝，这个式子只有当ab>0时取得最大值，当ab>0时，
∴＝＝＝，
由于a2＋4b2＝1，故4ab≤1，即≥4，[来源:Zxxk.Com]
故当＝4时，取最大值＝.
答案 [来源:学_科_网Z_X_X_K]
2．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________.
解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，
∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.
答案 －
三．解答题。（本部分共1道解答题）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．
解析 (1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra，
所以当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；
当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，
于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)，
∴a2，a3，…，an，…成等比数列，
∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.
综上，数列{an}的通项公式为an＝
(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．证明如下：[来源:Zxxk.Com]
当r＝0时，由(1)知，an＝
∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．
当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*，
使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，
∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.
由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是
对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，
∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．
综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．