【数学】2020届一轮复习人教A版计数原理、概率、随机变量及其分布列作业 5页

‎2020届一轮复习人教A版 计数原理、概率、随机变量及其分布列 作业 ‎1.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．‎ ‎(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：‎ ‎①顾客所获的奖励额为60元的概率；‎ ‎②顾客所获的奖励额的分布列及均值；‎ ‎(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．‎ 解：(1)设顾客所获的奖励额为X.‎ ‎①依题意，得P(X＝60)＝＝，‎ 即顾客所获的奖励额为60元的概率为.‎ ‎②依题意，得X的所有可能取值为20,60.‎ P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，‎ 即X的分布列为 X ‎20‎ ‎60‎ P 所以顾客所获的奖励额的均值E(X)＝20×＋60×＝40元．‎ ‎(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.‎ 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.‎ 以下是对两个方案的分析：‎ 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎100‎ P X1的均值E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，‎ X1的方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.‎ 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ P X2的均值E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，‎ X2的方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.‎ 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.‎ ‎2.　(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．‎ ‎(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；‎ ‎(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎①试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎3．95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04　10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95‎ 经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.‎ 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ35‎ 付费标准(单位：元/日)‎ ‎500‎ ‎700‎ ‎1 000‎ 考虑到资金有限，若要使该公司每个月(按30天计)付的费用最少，则该公司应该选择哪个网站？‎ ‎[解]　(1)根据题中的茎叶图得，‎ 甲＝×(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋35＋32＋45)＝30，‎ s＝[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2‎ ‎＋(30－30)2＋(35－30)2＋(32－30)2＋(45－30)2]＝58.‎ 乙＝×(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)＝30，‎ s＝[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8.‎ 因为甲＝乙，s>s，‎ 所以该公司应选择乙网站．‎ ‎(2)设选择甲网站每日需付的费用为随机变量X，选择乙网站每日需付的费用为随机变量Y，‎ 则随机变量X的分布列为 X ‎500‎ ‎700‎ ‎1 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.6‎ ‎0.2‎ 其数学期望E(X)＝500×0.2＋700×0.6＋1 000×0.2＝720，‎ 故该公司若选择甲网站，则每个月需付的费用为720×30＝21 600(元)．‎ 随机变量Y的分布列为 Y ‎500‎ ‎700‎ ‎1 000‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ 其数学期望E(Y)＝500×0.3＋700×0.4＋1 000×0.3＝730，故该公司若选择乙网站，则每个月需付的费用为730×30＝21 900(元)．因此应选择甲网站．‎