2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§5-2　三角恒等变换（讲解部分） 13页

考点　三角函数式的求值和化简 1.两角和与差的三角函数公式 sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β ;   (S α + β ) sin( α - β )=①     sin α cos β -cos α sin β      ;   (S α - β ) cos( α + β )=cos α cos β -sin α sin β ;   (C α + β ) cos( α - β )=②     cos α cos β +sin α sin β      ;   (C α - β ) tan( α + β )=   ;   (T α + β ) tan( α - β )=   .   (T α - β ) 考点清单 2.二倍角公式 sin 2 α =2sin α cos α ;   (S 2 α ) cos 2 α =cos 2 α -sin 2 α =③ 　2cos 2 α -1     =④ 　1-2sin 2 α      ;   (C 2 α ) tan 2 α =   .   (T 2 α ) 3.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α +tan β =tan( α + β )(1-tan α tan β );tan α -tan β =tan( α - β )(1+tan α tan β ). (2)升幂公式 1+cos α =2cos 2   ;1-cos α =2sin 2   . (3)降幂公式 sin 2 α =   ;cos 2 α =   . (4)其他常用变形 sin 2 α =   =   ; cos 2 α =   =   ;1 ± sin α =   ;tan   =   =   . 4.辅助角公式 a sin α + b cos α =⑤        sin( α + φ )     , 其中cos φ =   ,sin φ =   ,tan φ =   . 5.角的拆分与组合 (1)用已知角表示未知角 例如,2 α =( α + β )+( α - β ),2 β =( α + β )-( α - β ), α =( α + β )- β =( α - β )+ β , α =   -   =   +   . (2)互余与互补关系 例如,   +   =π,   +   =   . (3)非特殊角转化为特殊角 例如,15 ° =45 ° -30 ° ,75 ° =45 ° +30 ° . 考法一 　三角函数式的化简方法 知能拓展 例1 　(1)已知 α 为第二象限角,则cos α   +sin α ·   = 　　　　         . (2)化简:   (0< θ <π)= 　　　     . (3)化简:   ·   = 　　　     . 解析　 (1)因为 α 为第二象限角,所以sin α >0,cos α <0. 因为   =   =   =   =   ,   =   =   =   =   , 所以原式=cos α ·   +sin α ·   =sin α -cos α . (2)原式=   =cos   ·   =   . ∵0< θ <π,∴0<   <   ,∴cos   >0,∴原式=-cos θ . (3)原式=   ·   =   ·   =   ·   =   . 答案　 (1)sin α -cos α 　(2)-cos θ 　(3)   方法总结     1.三角函数式的化简原则 2.三角函数式化简的方法 化简三角函数式的常见方法有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂与 升幂等. 3.三角函数式化简的要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)尽量使分母不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数. 考法二 　三角函数式的求值方法 例2 　(1)(2019山西康杰中学等名校9月联考,12)已知 α - β =   ,tan α -tan β =3, 则cos( α + β )的值为   (　　) A.   +   　    B.   -   C.   +   　    D.   -   (2)(2018湖北八校联考,10)已知3π ≤ θ ≤ 4π,且   +   =   ,则 θ =   (　　) A.   或   　    B.   或   　    C.   或   　    D.   或   (3)已知tan   =2, α ∈   ,则sin   cos   +   cos 2   -   = 　　　     . 解题导引 　(1)把切化为弦、逆用两角差的正弦公式得sin( α - β )=3cos α cos β ,进一步求cos α cos β 的值,再求sin α sin β 的值,从而求得cos( α + β ). (2)应用升幂公式,根据角的范围去掉原式中的根号,再用辅助角公式求得 cos   =   ,求得 θ 的值. (3)把切化为弦,得cos   =-2sin   ,由平方关系得cos   α +     ,sin   α +     的值,把所求式子化为sin   求解. 解析 　(1)由tan α -tan β =3,得   -   =3, 即   =3. ∴sin( α - β )=3cos α cos β . 又知 α - β =   ,∴cos α cos β =   . 而cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin β =   , ∴sin α sin β =   -   . ∴cos( α + β )=cos α cos β -sin α sin β =   -   =   -   .故选D. (2)∵3π ≤ θ ≤ 4π,∴   ≤   ≤ 2π.∵cos θ =2cos 2   -1=1-2sin 2   ,∴   +   =   +   =cos   -sin   =   cos   =   .∴cos   =   . ∵ ≤   ≤ 2π, ∴   ≤   +   ≤   ,∴   +   =   π或   +   =   π,∴ θ =   π或   π,故 选D. (3)∵tan   =2,∴tan   =-2,即tan   =   =   =-2, ∴cos   =-2sin   . ∵ α ∈   ,∴ α +   ∈   . 又知cos 2   +sin 2   =1,解得cos   =-   ,sin   =   . 则sin   cos   +   cos 2   -   =   sin α +   cos α =sin   =   . 答案 　(1)D　(2)D　(3)   方法总结　 1.给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特 殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类 问题也常通过代数变形(比如:正负项相消,分子、分母约分等)的方式来求 值. 2.给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的 关键在于“变角”,如 α =( α + β )- β ,2 α =( α + β )+( α - β )等,把待求三角函数值的角 用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论. 3.给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三角函 数值,再结合所求角的范围及三角函数的单调性求得角.