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- 2021-04-28 发布
宁夏六盘山高级中学2019-2020学年高三第一学期期中数学测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.设集合， ，则（ ）
A. {－1} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {0,1,2}
【答案】B
【解析】
【分析】
解出集合，进而求出，即可得到.
【详解】
故.
故选B.
【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.
2.在复平面上，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，判断对应点的象限.
【详解】，对应点为在第一象限.
故答案选A
【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.
3.下列说法错误的是（ ）
A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若为假命题，则、均为假命题
D. 命题：“，使得”，则非：“，”
【答案】C
【解析】
【分析】
由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A正确；
由“”的充要条件为“”,可得B正确；
由“且”命题的真假可得C错误；由特称命题的否定为全称命题可得D正确，得解.
【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,
可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”,即A正确；
对于选项B, “”的充要条件为“”,又“”是“”的充分不必要条件,即B正确；
对于选项C, 为假命题，则、至少有1个为假命题,即C错误；
对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题：“，使得”，则非：“，”,即D正确,
故选.
【点睛】本题考查了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.
4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数值判断即可求解
【详解】∵函数在上连续且单调递增，
且，
，
∴，
∴函数的零点所在的区间为.
故选：C．
【点睛】本题考查函数零点存在性定理，熟记定理应用的条件是关键，属于基础题.
5.若且为第三象限角，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.
【详解】因为且为第三象限角，
所以，
则.
故选C
【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.
6.已知向量，且，则m=( )
A. −8 B. −6
C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
7.函数的部分图像如图所示， （，，），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
【详解】解：根据函数，，的部分图象，
可得，，，
又函数过点
，
解得，
故函数的解析式为，
故选：．
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
8.的内角所对的边分别为 ，若角依次成等差数列，且，则的面积( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据依次成等差数列求得角,再由余弦定理求得边,然后由三角形面积公式求得面积.
【详解】依次成等差数列，
，
因为，
由余弦定理得，得，
，故选C.
【点睛】本题主要考查等差中项的应用，余弦定理解三角形以及特殊角的三角函数与三角形的面积公式，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.
9.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
利用函数的性质及特殊值可以得出选项.
【详解】当时，，所以排除选项;
当时，，，
因为，所以有解；
所以在不是单调函数，排除选项；
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，给出函数解析式，由式选图，一般是利用函数的性质及特殊值进行排除选项，侧重考查直观想象的核心素养.
10.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对数式化为同底数进行比较，和指数式比较时，借助中间值可得.
【详解】因为，，所以；
因为，所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查指数，对数式的大小比较，数式比较大小主要利用单调性或者图象或者中间值进行，侧重考查数学运算的核心素养.
11.的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数则函数的图象( )
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据周期确定，然后结合变换后的函数是奇函数可求，再研究对称性可得选项.
【详解】因为的最小正周期为，，所以；
向左平移个单位后得到函数为，
由奇函数可得,解得，所以；
因为，
所以函数的图象既不关于点对称，也不关于直线对称；
因为，
所以函数的图象关于直线对称；
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质，图象变换时注意系数对解析式的影响，三角函数的性质一般利用整体代换进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.
12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由导函数为偶函数，得出，由，得出，将问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围．
【详解】，，
导函数的对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，
，令，即，得.
问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围．
，令，得，列表如下：
极大值
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，，
又，，显然，，如下图所示：
结合图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题．
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13._____________．
【答案】
【解析】
试题分析：原式.
考点：诱导公式与两角差的正弦公式.
14.已知向量、的夹角为120°，，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据模的计算公式：即可计算出结果。
【详解】向量、的夹角为120°，，，
所以44•4×1+4×1×3×cos120°+9＝7，
所以．
【点睛】本题主要考查了向量模的计算，属于基础题。
15.函数的单调递减区间是_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算定义域，再根据复合函数的单调性求减区间.
详解】或
为减函数，要求的单调递减区间
即的增区间：
综上所诉：
故答案为
【点睛】本题考查了复合函数的单调性，同增异减.忽略定义域是常犯的错误.
16.已知函数满足，若函数与图象的交点为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件，可得两个函数的图象均关于直线对称，利用对称性可求.
【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
因为的图象也关于直线对称，所以两个函数的图象的交点也关于直线对称，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，由函数关系明确函数的对称性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知函数．
（1）求函数的单调区间.
（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.
【答案】（Ⅰ）增区间是：减区间是：；（Ⅱ）-2，1.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.
【详解】（Ⅰ）
，
由 得，
增区间是：，
由 得
减区间是：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
把向右平移个单位得到函数，
，
因为，
所以，
，
故所在区间上的最大值为1，
最小值为.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.
18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若，求cosA的值．
【答案】：（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果;（2）利用（1）的结论和三角函数关系式中角的变换求出结果．
【详解】（1）∵, ∴,∴
∵,∴.
（2）∵,∴,∴
∵,∴
∴
.
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答
19.已知函数．
（1）若函数图像上点处的切线方程为，求实数的值；
（2）若在处取得极值，求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）先求出参数的值,再借助导数求最大值.
试题解析：（1）因为的定义域为，函数图像上点处的切线方程为，所以：，
当时，，，又点在直线上，所以
所以：
（2）因为的定义域为．因为在处取得极小值，所以，即．当时，，
当时，，当时，
又
所以：函数在区间上的最大值为．
考点：导数在研究函数的单调性及最值中的运用．
【易错点晴】本题考查的是导数的几何意义和导数在研究函数的单调性和最值中的应用.对于导数的几何意义的问题求解时一定要搞清导函数在切点处的导函数值就是切线的斜率这一几何意义,当然也还要借助切点既在在切线上也在曲线上这一事实.关于函数在闭区间上的最值问题,一定要先求出函数在这个区间上的极值,再求出其最大最小值.
20.中，角A，B,C的对边分别是且满足
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为为且，求的值；
【答案】(1). ⑵a＋c＝．
【解析】
试题分析：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，
∴cosB=，又0＜B＜π，则；
（2）∵△ABC的面积为，sinB=sin=，
∴S=acsinB=ac=，
∴ac=3，又b=，cosB=cos=，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-9=3，
∴（a+c）2=12，
则a+c=．
考点：考查主要考查正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．
点评：中档题，本题综合考查了正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．其中（2）将sinB及已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，按整体思想求出a+c的值．
21.已知函数为自然对数的底数.
(1)当时,试求的单调区间;
(2)若函数在上有三个不同极值点,求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为,单调减区间为；（2）
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求.
试题解析：
（1）函数的定义域为
,.当时，对于
恒成立，所以，若，若，所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由条件可知，在上有三个不同的根，即在
上有两个不同的根，且，令，则，当单调递增，单调递减，的最大值为，而.
考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号
选修4-4：极坐标与参数方程
22.选修4-4：坐标系与参数方程
点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积.
【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．
设，则，则有．
所以，曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，
，
则．
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数.
（1）若，使得不等式成立，求实数m的最小值M；
（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1），使得不等式成立，转化为求解的最小值，可得;
（2）由题意可得，运用基本不等式可求的最小值.
【详解】（1）由题意，，当且仅当时，等号成立；
因为，使得不等式成立，所以，即.
（2）由（1）可得，
所以
.
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查不等式的性质和基本不等式应用，恒成立问题和能成立问题一般是转化为最值问题，基本不等式应用求解最值时，需要注意是否满足适用条件，侧重考查数学运算的核心素养.