七年级下册数学教案3-3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 湘教版 2页

第 2 课时 利用完全平方公式进行因式分解 1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点) 2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因 式．(难点) 一、情境导入 1．分解因式： (1)x2－4y2； (2)3x2－3y2； (3)x4－1; (4)(x＋3y)2－(x－3y)2； 2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab ＋b2”的式子分解因式吗？[来源:Zxxk.Com] 二、合作探究[来源:Zxxk.Com] 探究点一：用完全平方公式因式分解 【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( ) (1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋1 4 ；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是 a，b 两数的积的 2 倍，不能运用完全平方公式；(2)a2 －a＋1 4 ＝(a－1 2)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是 3a 和 2b 两数积的 4 倍，不能用完全平方公 式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选 B. 方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两 个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍． 【类型二】 运用完全平方公式分解因式[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平 方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解． 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；[来源:Z,xx,k.Com] (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2. 方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公 因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． [来源:Z#xx#k.Com] 探究点二：用完全平方公式因式分解的应用 【类型一】 运用因式分解进行简便运算 利用因式分解计算： (1)342＋34×32＋162； ( 2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2 的形式后计算即可． 解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键． 【类型二】 完全平方公式 的非负性的运用 试说明：不论 a，b，c 取什么有理数，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc 一定是非负数． 解析：先提取1 2 后，分组凑成完全平方公式，从而判断它的非负性． 解：a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝1 2(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝1 2[(a2－2ab＋b2)＋(b2 －2bc＋c2)＋ (a2－2ac＋ c2)]＝1 2[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc 一定是非负数． 方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于把原多项式化为三个 完全平方公式和的形式，利用完全平方公式的非负性来作出判断． 【类型三】 整体代入求值 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 1 2a3b＋a2b2＋1 2ab3 的值． 解析：将 1 2a3b＋a2 b2＋1 2ab3 分解为 1 2ab 与(a＋b)2 的乘 积，因此可以运用整体代入的数 学思想来解答． 解：1 2a3b＋a2b2＋1 2ab3＝1 2ab (a2＋2ab＋b2)＝1 2ab(a＋b)2.当 a＋b＝5，ab＝10 时，原式＝ 1 2 ×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式， 然后整体代入． 三、板书设计 1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 2．完全平方公式的特点： (1)必须是三项式(或可以看成三项的)； (2)有两个同号的平方项； (3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2 倍)． 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为 了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活 动本身既是对学生能力的培 养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的能力