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- 2021-04-27 发布
2019年春四川省宜宾市四中高二期末模拟考试
文科数学试题
第I卷（共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）
1.已知命题p：，，则
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
2.已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（ ）象限
A. 一 B. 二 C. 第三 D. 四
3.椭圆的焦距为
A. B. 8 C. D. 12
4.曲线在点处的切线方程是
A. B.
C. D.
5.函数的大致图象为
A. B.
C. D.
6.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7. 平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则
A． B．2
C． D．
8若点P为抛物线C：上的动点，F为C的焦点，则的最小值为
A. B. C. D.
9.已知中，的对边分别是，且，则边上的中线的长为
A. B. C. 或 D. 或
10.已知、是两个互相垂直的平面，m、n是一对异面直线，下列四个结论：
①m∥、n；②m、n∥；③m、n；
④m∥、n∥，且m与的距离等于n与的距离．其中是m的充分条件的为
A.① B. ② C.③ D.④
11.双曲线的两个焦点为，，若P为其图象上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围为
A. B. C. D.
12.已知函数的图象在处的切线方程为，若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知满足则的最大值为 .
13.函数在上的最小值为__________．
15.学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
16.已知点是抛物线上上的一点，点是抛物线上的动点三点不共线），直线分别交轴于两点，且，则直线的斜率为 __________．
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（12分）已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为．
(1) 求的解析式； (2) 求过点的切线方程．
18.（12分）18．（12分）
某超市计划销售某种食品，现邀甲、乙两个商家进场试销5天．两个商家提供的返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利2元；乙商家无固定返利，卖出30件以内（含30件）的食品，每件食品商家返利4元，超出30件的部分每件返利6元．经统计，两个商家的试销情况茎叶图如下：
（1）现从甲商家试销的5天中抽取两天，求这两天的销售量都小于30的概率；
（2）超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日平均返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由．
19.（12分）
A
B
C
D
E
F
B
E
F
D
M
第19题图
如图，边长为的正方形中，、分别是、边的中点，将，分别沿， 折起，使得两点重合于点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
20.（12分）已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点，，为椭圆上的动点，，面积最大值为.
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）圆的切线交椭圆于点，，求的取值范围.
21.（12分）已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），圆的参数方程为（为参数）以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和圆的极坐标方程；
（2）射线：（其中）与圆交于，两点，与直线交于点，求的取值范围.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若，求的最小值．
2019年春四川省宜宾市四中高二期末模拟考试
文科数学试题答案
1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.D 8.D 9.C 10.C 11.A 12.B
13.3 14.. 15.B 16.
17.：（1）函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c， 依题，
又f'（0）=﹣3即c=﹣3 ∴a=1，b=0， ∴f（x）=x3﹣3x
（2）解：设切点为（x0 ， x03﹣3x0）， ∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），
又切线过点A（2，2），
∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），
∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0， 解得x0=﹣1或2，
可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，
即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），
即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0 .
18．（12分）
（1）记“抽取的两天销售量都小于30”为事件A，
则5天中抽取两天的情况有：(29,28)，(29,29)，(29,32)，(29,32)，(28,29)，(28,32)，(28,32)，(29,32)，(29,32)，(32,32)共10种； 2分
两天的销售量都小于30的情况有：(29,28)，(29,29)，(28,29)共3种． 4分
所以P(A)=． 6分
（2）依题意，
甲商家的日平均销售量为：
．
所以甲商家的日平均返利额为：60+30×2=120元． 8分
乙商家的日平均返利额为：
(28×4+28×4+30×4+2×6+30×4+1×6+30×4+1×6)=121.6元． 10分
因为121.6元>120元，
所以推荐该超市选择乙商家长期销售． 12分
19.（1）证明： 在正方形中，，
在三棱锥中,且
……………6分
（2）分别是边长为的正方形中边的中点
由（1）知
………………………………12分
20.(1)因为，所以.①
因为，所以点为椭圆的焦点，所以.
设，则，所以.
当时，，②
由①，②解得，所以，.
所以圆的方程为，椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去可得，
.
=
=.
令，则，所以=，
所以=，所以.
综上，的取值范围是.
21.（1）函数的定义域为，
，
若，则
当或时，单调递增；
当时，单调递减，
若，则
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
（2）原题等价于对任意，有成立，
设，所以，
，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
为与中的较大值，
设，
则，
所以在上单调递增，故，所以，
从而，
所以，即，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以的解为，
因为，所以正实数的取值范围为.
22.（1）直线的直角坐标方程是，直线的极坐标方程是，
圆的普通方程为，所以圆的极坐标方程是；
（2），
因为，所以的取值范围是.
23.（1）当时，
的解集为：
（2）由得：
由，得：
得（当且仅当或时等号成立），故的最小值为.